傅里叶正弦级数（欧拉伯努利达朗贝尔关于弦振动问题的论战）

在自然世界中，存在着许多的波动现象，它是一种常见的物质运动形式，如声波、水波等，后来物理学家对此类现象经过归纳总结，把某一物理量的扰动或振动在空间逐点传递时形成的运动形式都称之为波动。

各种形式的波的共同特征是具有周期性。所以数学家希望可以用数学方法诠释自然界中的各种波动现象，其中，最为知名的，就是欧拉、伯努利以及达朗贝尔等人对于乐器中弦振动问题的争论，今天我们就来了解一下数学中的弦振动问题。

弦振动问题的研究由来已久，当时欧洲数学家在欣赏小提琴演奏时发现，小提琴演奏者用弓在琴弦上来回拉动，弓所接触的只是弦的很小一段，按照常理来说，应该只是会引起这一小段弦的振动，但实际上，振动总是会传播到整根弦。

数学家在发现了这种现象之后，就希望能够用数学方法研究这种弦振动传播现象。但是一开始数学家并不知道应该用什么样的方程式去表达这样的弦振动现象。以至于后来引发了数学家之间的争执。

弦振动问题争论的由来

17世纪的时候，牛顿和莱布尼茨分别独立地提出了微积分，随着微积分的发展，微分方程慢慢开始成为数学里的一个重要的分支。

微分方程就是联系着自变量，未知函数以及其导数的关系式，一般地，客观世界的事件的联系是服从一定的客观规律的，而这种联系，用数学语言表述出来，即抽象为微分方程，一旦求出其解或研究清楚其动力学行为，变量之间的规律就目了然了。

随着微分方程的发展，数学家开始尝试用微分方程去表达弦振动问题，即把弦细细地分成若干个极小极小的小段， 每一小段抽象地看作是一个质点， 使得弦被当成“小珠的弦” 即弦被看成由咒个离散的、相等的和等间隔的、彼此间用没有重量的柔软的弹性绳相连接的重物构成。

为了处理连续的弦，重物的数目允许变成无穷多个， 同时每一个的大小和质量都减小， 使得当“珠子” 个数增加时总质量趋近连续弦的质量。那就可以用微积分的方法来分析解决了。

如约翰·伯努利在1727年的一篇关于弦振动问题的论文中，约翰就考虑假设一根无重量的弹性弦，在弦上等间隔地放置着n个等质量的质点，当放置6个质点时，就可以得到弦的简谐振动方程：

约翰的简谐振动方程证明了在任何时刻弦的形状必定是正弦曲线，后来欧拉、达朗贝尔、约翰的儿子丹尼尔都导出了不同形式的弦振动微分方程。

但这只是理想化的弦振动形态，因为一根琴弦不可能没有重量，也不可能没有弹性。所以后来数学家开始考虑把引起弹性振动的惯性力考虑进去。

因为不同琴弦的弹力是并不相同的，即使相同的琴弦在不同的情况下弹力也不尽相同，所以数学家就得出了各种情况下的波动方程。

欧拉和达朗贝尔就沿用之间的思维，用微分方程来表示弦振动的波动方程。但是丹尼尔却以完全不同的形式即用函数的级数展开式给出弦振动问题的解，级数是指将数列的项依次用加号连接起来的函数，级数是研究函数的一个重要工具，在理论上和实际应用中都处于重要地位。

运用数学方法的不同，导致了丹尼尔、欧拉与达朗贝尔之间的关于弦振动可允许的解的争论，后来拉格朗日、拉普拉斯等也参加了这种争论。

这就是弦振动问题争论的由来。

弦振动问题的争论过程

1733年，丹尼尔在自己的研究论文中明确地提出了振动的弦能有较高的振动模式，后来在1741年到1743年之间的多篇论文里，丹尼尔都阐述了自己的“简单振动（基音）和叠合振动（高次谐音）可以同时存在”观点，但只是从物理角度提出，却又并没有从数学上加以描述。

到了1753年，丹尼尔再次重申了“振动弦的许多模式（简单的和叠加的）能够同时存在”的观点，他认为这个振动是第一基音、第二谐音、第三谐音……的一切可能的简谐振动的一个叠合。

微距下振动的琴弦

丹尼尔试图通过将弦振动中全部可能的初始曲线能表示成为正弦级数来进行描述。他认为：任何复杂的振动都可以分解成一系列谐振动之和. 这一事实用数学语言来描述即为：

丹尼尔的这个观点是非常重要的，因为他首次提出了将问题的解表示为三角级数的形式，这为将一个函数展为傅里叶级数的纯数学问题奠定了物理基础，促进了分析学的发展。

欧拉赞同丹尼尔的关于许多模式能够同时存在，使得一个振动中的弦能发出许多谐音的观点，但是又和达朗贝尔一起反对丹尼尔关于在弦振动中全部可能的初始曲线能表示成为正弦级数的主张。

1746年，达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中，提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式，他将偏导数的概念引进，作为对弦振动的数学描述。

这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科，自此之后微分方程中未知函数是一元函数的，叫常微分方程；未知函数是多元函数的叫做偏微分方程。

而欧拉在读完达朗贝尔的论文之后，对达朗贝尔的结论又并不认同，他认为弦可以拉动，使得其起始形狀在不同的区间上可以由不同的解析表示式所描述。也就是说，欧拉认为他的初始函数在不同的区间可以有着不同的解析表示式。

欧拉称此种函数为不连续函数，用通俗的话讲就是，虽然是连续函数，但在相接的地方却是不可以微分的。

欧拉在他的1749年的基本论文中指出：振动弦的一切可能的运动， 无论弦的形状怎样， 关于时间都是周期的,也就是说,该周期是我们现在所谓的基本周期。 他也认识到周期为基本周期的一半、 三分之一等等的单个的模式能够作为振动的图像出现。

所以在欧拉的不连续函数的观念下，他自然不会认同丹尼尔的主张，他认为他自己的振动弦的解包括了所有可能的函数，特別是他所谓的不连续函数，连续的正弦函数怎麼可能叠加产生不连续函数，另外一方面，正弦函数是奇函数，因此，显然无法产生所有的任意函数，特別是如果起始曲线有一部份是靜止的。但是，欧拉倒是愿意承认丹尼尔的解是他的解的一部份。

丹尼尔对于欧拉的主张也提出了反驳，丹尼尔认为：既然有无穷多个 an 可供选择，因此：每一個函数当然均可用一三角级数表出，自然而然，它的解所涵盖的范围比欧拉广。

丹尼尔的这种非数学方式的论争，当然是无法使人信服，所以后来丹尼尔也认识到了这个问题。

丹尼尔·伯努利

三个人之间各执一词，相互争论了十几年，后来拉格朗日以及拉普拉斯也加入了争论，拉格朗日其实在很多事情上重复了欧拉他们的工工作，他也否认三角级数能够示任一解析函数， 更不用说更加任意的函数了。

概括而言，丹尼尔认为可以通过正弦级数来进行描述弦振动；达朗贝尔想通过偏微分方程的方式解决弦振动问题；而欧拉则提出了不连续函数的概念。

其实他们之间的观念并非全都正确，但是也并没有完全错误，归结而来，其实就是用三角级数来表示一个任意函数这一重要问题，而这个问题的解决则是傅立叶来完成的。

弦振动问题争论的结束

终结这个问题的是另外一位大数学家傅立叶，傅里叶是一位数学家，但是他特别痴迷于热学，热学是研究物质处于热状态时的有关性质和规律的物理学分支，1811年，傅立叶向科学院自己的文章《热的传播》，在论文中推导出著名的热传导方程 ，他在其中运用到的三角级数也就是后来著名的傅立叶级数。

傅立叶提出的傅立叶级数与拉格朗日的观点相违背，傅立叶认为不论定义在（π、π）上的函数 f(x) 是如何任意，它一定可以用一個无穷三角级数表示出來。这与拉格朗日在处理弦振动问题时候否定三角级数的观点相矛盾， 所以拉格朗日认为傅立叶的研究并不严谨。

后来，傅立叶经过多年的努力，在1822年提交了著名的《热的解析理论》，它标志着傅立叶级数和傅立叶积分的证实诞生。

傅立叶在这篇文章中正式提出，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的）。

傅立叶级数的提出从根本上动摇了旧的关于函数概念的传统思想，1837年，狄利克雷给出了与我们现在所熟知的函数定义非常相近的函数的如下定义(区间一般是指两个实数之间的所有实数):

如果对于给定区间上的每一个x值，都有唯一的y值与它对应,那么y是x的函数。

可以说傅立叶级数的提出和新函数概念的提出，彻底解决了弦振动问题，只要是自然界的周期运动现象，都可以通过傅立叶级数来表示。简单来说，把一个周期运动分解为简谐振动的迭加，反映在数学上，是把一个周期函数f(t)表示为各类正弦函数的迭加。

傅立叶级数

傅立叶函数提出来以后，再回头来看三人的争论，达朗贝尔、丹尼尔与欧拉之间的争论问题的实质在于能够用正弦函数、或更进一步地，用傅立叶级数表示函数类的宽窄。他们都只是触及了这个问题的某一方面。

弦振动问题的解决也说明了数学家对于函数的进一步完善以及函数概念的进一步规范，促进了数学的大发展。

而欧拉、伯努利、达朗贝尔等人对于弦振动问题的探讨，最终促成了处理数学物理问题的有力工具和具有普遍意义的方法——傅立叶级数的诞生， 从而开创傅立叶分析这一近代数学的重要分支。在十九至二十世纪的基础数学研究领域占了极其重要的地位， 同时也为现代信号分析奠定了基础。

傅立叶

进入 20 世纪以后， 这傅立叶级数更成为全世界数学家， 物理学家以及工程师之间的通用语言，它的巨大潜力和应用价值可见一斑。

在思考中提高自己的学问，在探讨中迸发新的花火，在争论中催生新的思想，在辩驳中完善自己的理论，这就是科学家之间论战的意义。

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