小学北师大版五上数学学习资料（海韵教育北师版小学数学）

一年级上册︱学生在看图列式时，列出不同算式怎么办？

同样一幅图，学生可能会列出不同的列式，这是不同学生从不同角度思考的结果。如教材第 42 页第 3 题（见下图）：从图中提供的信息可以看出：一共有 7 只小兔子，房子外面有5 只，房子里面有几只？学生一般列出 7－5＝2。但有的学生列出 5＋2＝7。

对于这一现象，教师在处理时首先鼓励学生说出自己的思路。通过同学间的交流，既可以让每个学生听取各种不同的思考方法，教师也能从中分辨学生的思考过程是否合理，以便及时纠错。如果各种方式最终都能解决这个问题，学生也能清晰地表达出自己的结果，说明思考的角度不一样但都达到了解决问题的目的，都是有价值的。比如，在这道题目中，5 2=7的算式，其价值表现在它是一种顺向的思维，和以后利用方程来解决问题的思路是一致的，它跟 7-5=2 进行比较的话，也说明了学生理解了加减法的互逆关系。所以，教学中教师也要善于捕捉每一种方法的价值和它们之间的联系。

为了更清晰地表示结果，教师还可以引导学生能把自己的思考过程用较为明显的方法显示出来。如，对于算式 7－2＝5，学生是知道房子里面有 2 只，所以说这个算式也应该算对，由于一年级学生解答此类题时，不要求他们写答句，所以在这道题目中，可以引导学生在 2的下面画一条横线，或画一个小的三角形，或也可以用括号，师生约定用一个符号做出标记，说明他知道房子里有 2 只。

二年级上册︱怎样帮助学生熟记乘法口诀？

《标准（2011 年版）》对表内乘除法的口算要求是每分钟 8～10 题。熟记乘法口诀不仅是学生计算表内乘除法的基础，也是进一步形成计算能力的重要基础，在教学中教师要让学生在理解的基础上进行适当的记忆，并在应用中达到熟练。在教学中，特别要注意以下两点。

1．要让学生经历编制乘法口诀的过程

要让学生经历编制乘法口诀的过程，了解每句乘法口诀的来龙去脉，每句口诀的实际意义，这样才能更好地记住它们。以 2 的乘法口诀为例，教材通过“做家务”摆放筷子的情境，让学生经历 2 的连加的过程，为列乘法算式和编口诀做准备。先让学生用小棒代替筷子摆一摆，然后列出连加算式。1 双筷子有 2 根，2 双筷子有 2＋2＝4（根），3 双筷子有 2 2 2＝6（根），4 双筷子有_____，把连加的得数填在表中，为编制 2 的乘法口诀做准备。

利用表格中的得数，编制 2 的乘法口诀。教师可以先写出九个有关 2 的乘法算式，对照表格中的得数分别填出它们的积，然后根据乘法算式的意义，编出乘法口诀。例如，2×2＝4，乘法算式的意思是 2 个 2 是 4，乘法口诀是“二二得四”。又如，2×6＝12，乘法算式的意思是 6 个 2 是 12 或 2 个 6 是 12，为了顺口，它的乘法口诀是“二六十二”。然后引导学生发现每句乘法口诀和乘法算式之间的关系，它的前半部分是乘法算式中的两个乘数，后半部分是乘法算式中的积。从整体来看，2 的乘法口诀共有九句，可以引导学生观察、发现口诀的规律，如每句口诀的前半部分都有“二”，相邻两句口诀之间的得数相差 2，后一句比前一句多 2 等。

2．借助点子图、数线等直观模型，帮助学生理解口诀乘法口诀的意义

借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观的理解数学。借助点子图、数线，帮助学生沟通已有知识和新知识之间的联系，发现乘法口诀之间的规律。

3．设计有效的、形式多样的练习，帮助学生熟记口诀

⑴有针对性地设计练习。可以通过“联想”的方法，在学生了解每句乘法口诀实际意义的基础上，通过一定的练习，帮助学生熟记口诀。81 句乘法口诀对学生来说，难易程度是不一样的，这和他们的生活经验有关，在生活中经常 2 个 2 个地数数，5 个 5 个地数数，一张桌子 4 条腿，一辆汽车 4 个轮子，因此，通过这些联系，学生对 2 的乘法口诀，4 的乘法口诀，5 的乘法口诀记忆起来就相对容易。

⑵练习要有层次性。可以在新学某部分口诀时，先让学生正确熟读，然后试一试默记，发现哪几句不容易记住，就重点练习那几句。比如，学生最感到困难的是 7 的乘法口诀，虽然有一星期有 7 天的生活经验，但是时空观念是比较抽象的，看不见，摸不着。据有关研究表明，需要用 7 的乘法口诀计算的表内乘除法，学生的错误率最高，因此，7 的乘法口诀要多加练习。

⑶练习形式要多样。在个人基本记住口诀的基础上，可以通过对口令的形式练习，老师说前半句，学生说后半句，也可以学生与学生之间进行，先可以按口诀的顺序进行，然后打乱顺序进行练习。在进行综合练习时，教师出示得数，让学生说出口诀，如，出示“12”。学生说出“三四十二，二六十二”。

⑷练习要有针对性。每个学生在掌握整个口诀中的难点也不尽相同的，教师要及时发现某个学生在哪句口诀经常出错，及时予以纠正。总之，既可以在具体情境中进行练习，还可以设计对比性练习和改错练习等。

为保证记忆的持久性，练习的设计还要讲究系统性，注意集中练习与分散练习相结合，即在后面单元的学习中，教师也需要适当地穿插前面单元有关口诀的练习。

三年级上册︱观察物体时有的学生观察到4个面，如何解释？

教学时，有教师遇到这样的问题：有的学生拿着薄薄的日记本观察，能观察到四个面，还有的学生想到如果观察很多面不规则的物体，观察到的就不只是三个面。

像日记本这样比较小的物体，学生在观察时，观察到的日记本的正面和背面，实际上并没有观察到它完整的面，是一种视觉上的误差。因为笔记本比较薄，稍微移动一下位置就感觉不同。所以，需要提醒教师要尽量为学生提供可观察、易交流的物体，被观察物体不宜太小。

如果学生能够想到观察很多面不规则的物体，观察到的不只三个面，他们能够从简单的物体想象到多个面的物体，应该给予鼓励，但不对学生作统一要求。由于学生观察物体还处于起步阶段，空间观念的建立还需要一定的过程，所以我们教材中提供的物体都是相对简单的，即学生熟悉的 6 个面的物体。教材中体验观察物体最多能看到三个面也并不是一个结论，不需要学生记住，主要是引导学生经历观察的过程。

四年级上册︱为什么把“0”看作自然数？

从历史上看，国内外数学界对于“0”是不是自然数历来是有争议的。新中国成立以来，我国的中小学教材一直规定自然数不包括“0”。目前，国外数学界大部分都规定“0”是自然数。1993 年我国颁布的《中华人民共和国国家标准》（GB 3100～3102-93）《量和单位》 （11-2.9）第 311 页，规定自然数包括“0”。

把“0”作为一个自然数，数学家们给出了相应的解释。

我们知道“空集”是集合中一种最主要也是最基本的集合，也是我们在描述周围现象时经常用到的集合。把“空集”作为一个有限集合是很自然的，并且我们很容易理解用“0”来描述“空集”中所含元素的多少。如果把“0”作为一个自然数，那么“所有自然数”就可以刻画 “所含的有限集合元素多少”。而如果“所有自然数”不包括“0”，那么就没有自然数可以表示“空集”所含元素的多少。这是从“自然数刻画有限集合的基数的基本功能”方面说明了把“0”作为自然数的好处。在数学上把 0 作为自然数还有很多好处，详细可见王尚志教授在《小学教学设计》2005 年第 1 期中发表的《为什么把“0”作为一个自然数》。

五年级上册︱50 以内的数包括 50 吗？100 以内的数包括 100 吗？

关于多少以内的问题，其实是教材的一个约定，像教科书五年级上册第 86 页第 6 题，50 以内的数通常包括 50。我们查阅了其他版本的教材，如“万以内数的认识”通常包括对1 万的认识。在现实社会中，“以上”和“以下”出现频率最高的是法律法规和新闻媒体。所以我们查阅了《现代汉语词典》以及相关法律文章的文献，其中《宁夏大学学报（人文社会科学版）》2013 年 9 月第 5 期《怎样理解<中华人民共和国刑法>中的“以上”和“以下”》一文中有相关引文“表达范围的‘N 以上’和‘N 以下’结构，就是从 N 往上数和从 N 往下数，一律包括范围的起点 N 在内，也就是包括现在所说的本数或本级在内。”“现代汉语的‘以上’和‘以下’是从古代汉语继承来的，凡是表示一系列的人员、事物或者数量，‘以上’‘以下’都包括所谓本数或本级在内。”

在教材中，当我们说 20 以内的数、50 以内的数、100 以内的数、千以内的数、万以内的数……其中都隐含着我们的约定，即 20 以内的数包括 20,50 以内的数包括 50,100 以内的数包括 100……在教学时，向学生说明此约定即可。

六年级上册︱教材为什么安排让学生先估计圆的面积？

圆的面积的计算是一个难点，与探索圆的周长计算公式类似，需要探索圆的面积与圆的半径之间的关系。教材安排了一个“估一估”的活动，目的是使学生进一步体会面积度量的含义，培养学生的估计意识，发展学生的估计策略，进一步理解圆的面积的含义。

教材采用了方格纸估算圆的面积的方法，呈现了两种估计思路：一种思路是在圆内画出一个最大的正方形，由于用这个正方形面积表示圆的面积误差太大，所以需要解决剩下的部分怎么度量。这个想法是有价值的，如果能把圆内最大的正方形换成最大的正八边形，用这个正八边形的面积表示圆的面积，那么误差就小得多。另一种思路是用方格纸度量，“画方格数一数”是学生已经具有的经验。

教学时，教师先引导学生自己进行估计，再交流估计的策略。对于第一种估计思路，教师还可以引导学生用“圆的半径”来分析、表示两个正方形的面积，有利于学生对圆的面积与半径关系的理解。圆外切正方形的边长是2r，圆外切正方形的面积是 2r×2r＝4r²；圆内接正方形可以看作四个直角三角形组成的，三角形两条直角边的长是r，一个三角形的面积是r×r÷2＝r²/2，圆内正方形的面积（即四个三角形的面积）是r²/2×4＝2r²，所以4r²＞圆的面积＞2r²。