三角函数的诱导公式及倍角公式（利用欧拉定理对三角函数倍角公式进行降维打击）

• 复数欧拉定理

该公式搭建了复数与指数函数之间的桥梁，而复数又可以用三角函数表示，所以该公式也搭建起了三角函数与指数函数的桥梁。

如此，利用该公式，很多三角函数的问题可以用指数函数来解决。

该公式的证明有很多种方法，如麦克劳林展开式（Maclaurin's Series）。

• 三角函数倍角公式推导

那么，有没有通用倍角公式呢？也即求

，其中n为自然数

的公式呢？

确实有这样的公式。求通用倍角公式的方法很多，这里采用欧拉公式进行降维打击方案。

我们知道：

两边n次方，得到

也即

上述等式右边采用牛顿二项式定理展开，得到

再根据欧拉定理展开上述等式左边，得到

根据复数相等的公式（实部与实部相等、虚部与虚部相等），即可求得

变形为：

也即

也即，可以

是余弦函数的一元n次有理方程。

即

可以通过正弦函数与余弦函数的二元n次多项式表示。

当n=2、3、4、5时，得到

上述公式的系数似无规律，不直观，记起来很困难。那么有没有必须要记忆，而直接写出上述公式的方法呢？

还得从上述公式通过欧拉定理和牛顿二项式定理推导来的，其系数与杨辉三角形有关：

如

相关的杨辉三角数如下图红框：

如第8行的数据为1、18、70、28、1，根据该序列，可以直接写出：

如第13行的数据为1、78、715、1716、1287、286、13，根据这个数列，可以直接写出：

同样地，

相关的杨辉三角数如下图蓝框：

如第9行数为9、84、126、36、1，据此直接写出：

• 小结

利用高等数学知识，可以降维打击和解决初等和中等数学的问题，如本章内容利用欧拉定理、二项式定理，轻松解决高中三角函数任意倍数公式问题。

• 本文相关知识：欧拉定理、二项式定理。

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