有趣的数学思维悖论（反直觉的数学问题10）

你的数学直觉怎么样？你能凭借直觉，迅速地判断出谁的概率大，谁的概率小吗？我们将连载这种反直觉的有趣数学问题如果你感兴趣的话，你可以先试着用直觉来判断，再详细分析答案，看看你猜对了多少，下面我们就来聊聊关于有趣的数学思维悖论?接下来我们就一起去了解一下吧!

有趣的数学思维悖论

你的数学直觉怎么样？你能凭借直觉，迅速地判断出谁的概率大，谁的概率小吗？我们将连载这种反直觉的有趣数学问题。如果你感兴趣的话，你可以先试着用直觉来判断，再详细分析答案，看看你猜对了多少。

终于到了最后一期啦，想了解往期题目的读者，可以留意文末的汇总链接，也可以关注我们之后搜索历史文章哦。我们来开始今天的题目：

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24．一斤白酒下肚后，我醉醺醺地来到了悬崖边上。如果我再往前迈一步，就会掉下悬崖。我每过一分钟都会往前或者往后迈一步，每次有 1/3 的概率往前迈一步，有 2/3 的概率往后迈一步。假设悬崖边是一条直线，我每步方向都严格垂直于悬崖边，且步长保持一致。如果我无限地走下去，那么下面哪种情况的可能性更大一些？

A．我在有限步之后将会掉下悬崖B．我永远不会掉下悬崖C．上述两种情况的出现概率相同

注意到，这个问题是有意义的。我要么在有限步之后掉下悬崖，要么永远不会掉下悬崖。我们的问题就是，究竟发生哪种情况的可能性更大。

实际上，这个题的答案也是 C 。不妨假设我在有限步之后将会掉下悬崖的概率为 p 。那么， p 等于多少呢？如果我第一步就往前迈，那就直接掉下去了。这有 1/3 的概率。在另外 2/3 的情况下，我的第一步是往后迈的。如果我最后还是掉下悬崖了，那么在此期间，我一定回过出发点。回到出发点，本质上就相当于往前净走一步，这和从出发点出发最终掉下去了一样，概率都是 p ；回到出发点后，要想真的掉下去，这又有一个 p 的概率。于是，我们得到：

p = 1/3 (2/3) · p2

解得 p = 1/2 或 p = 1 。舍去 p = 1 ，于是得到 p = 1/2 。这就说明， A 、 B 两种情况的出现概率是相同的。

为什么我们可以舍去 p = 1 呢？这里，我们可以使用和上一题类似的思路。如果用 p0 代替题目中的 2/3 ，则上面的式子变为了：

p = (1 – p0) p0 · p2

解得 p = (1 – p0) / p0 或 p = 1 。为了保证连续性，当 p0 > 1/2 时，我们需要舍去 p = 1 。

你或许已经发现了，这一题和上一题非常相似。进一步考察两个问题的答案，你还会有更惊人的发现：在有限步之后掉下悬崖的概率是 (1 – p0) / p0 ，因此永远不会掉下悬崖的概率是 1 – (1 – p0) / p0 = (2 · p0 – 1) / p0 。这正是上一题中阿米巴原虫无限繁殖下去的概率的表达式。

其实，这两道题的本质就是完全一样的。让我们把阿米巴原虫数量的变化想象成是数轴上不断左右移动的点。刚开始，这个点在 x = 1 的位置。考虑某个阿米巴原虫：如果它分裂了，那么数轴上的点会向右移动一个单位，这有 2/3 的概率；如果它死亡了，那么数轴上的点会向左移动一个单位，这有 1/3 的概率。上一题就相当于是问，数轴上的点更有可能会在有限步之后到达 x = 0 的位置，还是更有可能永远都到不了 x = 0 的位置。如果你把数轴上的点左移右移想成是在悬崖外前进后退，把 x = 0 的位置想象成掉下悬崖的位置，这就瞬间变成这一题的背景了。

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25．A 、 B 两支球队之间要打 100 场比赛。初始时，两支球队的经验值都为 1 。在每一场比赛中，两支球队各自的获胜概率与它们的经验值成正比，随后获胜一方的经验值将会加 1 。那么，当 100 场比赛全部打完之后，下面哪种情况的可能性更大一些？

A．球队 A 在所有 100 场比赛中全部获胜B．球队 A 在所有 100 场比赛中恰好有 50 场获胜C．上述两种情况的出现概率相同

这是一个强者愈强，弱者愈弱的过程，因此其中一支球队完胜另一支球队的概率并不会太低，两支球队最终打成平手的概率也并不会太高。事实上，两种情况发生的概率是相同的，都是 1/101 。也就是说，这个题目的答案是 C 。

让我们把 A 、 B 两支球队打比赛的过程进一步抽象成下面这样：从字符串 AB 出发，不断选择某个字母并把它分裂成两个。也就是说，初始时的字符串为 AB ，每一次你需要随机选择一个字母，如果选中了 A ，就把它变成 AA ，如果选中了 B ，就把它变成 BB 。第一次操作之后， AB 有可能变成 AAB ，也有可能变成 ABB ；如果第一次操作之后的结果是 AAB ，那么第二次操作之后，结果就会概率均等地变成 AAAB 、 AAAB 和 AABB 之一。容易看出，字母 A 、 B 数量增加的模式，与原问题中 A 、 B 两支球队经验值增加的模式是完全一致的，因而我们要求的概率值就等价地变为了： 100 次操作之后，字符串变成 AAA…AAB 的概率是多少，字符串变成 AA…AABB…BB （两种字母各半）的概率又是多少。下面我们来说明，这两个概率值都是 1/101 。

先来看一个似乎与此无关的东西：把 0 到 100 之间的数随机排成一行的另类方法。首先，在纸上写下数字 0 ；然后，把数字 1 写在数字 0 的左边或者右边；然后，把数字 2 写在最左边，最右边，或者 0 和 1 之间……总之，把数字 k 概率均等地放进由前面 k 个数产生的（包括最左端和最右端在内的）共 k 1 个空位中的一个。写完 100 之后，我们就得到了所有数的一个随机排列。

现在，让我们假设初始时的字符串是 A0B ，并且今后每次分裂时，都在分裂得到的两个字母之间标注这是第几次分裂。也就是说，下一步产生的字符串就是 A1A0B 或者 A0B1B 之一。如果下一步产生的字符串是 A1A0B ，那么再下一步产生的字符串就会是 A2A1A0B 、 A1A2A0B 、 A1A0B2B 之一……联想前面的讨论，你会发现，第 100 次操作结束后，所有数字实际上形成了一个 0 到 100 的随机排列，也就是说最开始的数字 0 最后出现在各个位置的概率是均等的。因此，最右边那个位置上的数字就是 0 的概率是 1/101 ，正中间那个位置上的数字就是 0 的概率也是 1/101 。这其实就是我们要比较的那两个概率值。

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26．从全体正整数中随机选出两个正整数，则下面哪种情况的可能性更大一些？

A．这两个正整数互质（没有大于 1 的公约数）B．这两个正整数不互质（有大于 1 的公约数）C．上述两种情况的出现概率相同

这个问题的说法很不严谨。我们给出一个更加严谨的叙述方法。让我们用 PN 来表示，从 1 到 N 中随机取出两个正整数，它们互质的概率是多少。我们的问题就是，当 N 趋于无穷时， PN的值究竟是大于 1/2 ，等于 1/2 ，还是小于 1/2 。

这是一个非常非常经典的问题。下面是最常见的一种解法。假设我们从全体正整数中随机选出了两个正整数 a 、 b 。其中， a 能被 2 整除的概率是 1/2 ， b 能被 2 整除的概率是 1/2 。因而，它们都能被 2 整除的概率就是 1 / 22 。反过来，它们不都能被 2 整除的概率就是 1 – 1 / 22 。类似地，它们不都能被 3 整除的概率就是 1 – 1 / 32 ，它们不都能被 5 整除的概率就是 1 – 1 / 52 ……于是，它们互质的概率就是：

(1 – 1 / 22) · (1 – 1 / 32) · (1 – 1 / 52) · (1 – 1 / 72) …

注意，这里用到了一个假设：如果 p 和 q 是两个质数，那么能否被 p 整除和能否被 q 整除，这是互相独立的。事实上也确实如此：一个数能被 p 整除的概率是 1 / p ，一个数能被 q 整除的概率是 1 / q ；一个数能同时被两个质数 p 和 q 整除，当且仅当它能被 p · q 整除，其概率是 1 / (p · q)。

为了求出上面这个式子的值，我们考虑它的倒数。 1 – 1 / 22 的倒数是 1 / (1 – 1 / 22) ，而由无穷等比级数的求和公式（见本文中的第 4 题），它又可以被我们写成 1 1 / 22 1 / 24 1 / 26 … 。类似地，其他几项也都变成了 1 1 / 32 1 / 34 1 / 36 … ，1 1 / 52 1 / 54 1 / 56 … ，等等。现在，想象一下，如果把所有的括号全都展开，把所有的项全都乘开来，会得到什么？我们会既无遗漏又无重复地得到所有的 1 / n2 ！

(1 1 / 22 1 / 24 1 / 26 … ) · (1 1 / 32 1 / 34 1 / 36 … )· (1 1 / 52 1 / 54 1 / 56 … ) · …= 1 1 / 22 1 / 32 1 / 42 1 / 52 …

比方说， 40 = 2 × 2 × 2 × 5 ，那么等式右边的 1 / 402 这一项，就是由等式左边的第一个括号里的 1 / 26 ，乘以第二个括号里的 1 ，乘以第三个括号里的 1 / 52 ，乘以其余所有括号里的 1 得到的。

1 1 / 22 1 / 32 1 / 42 1 / 52 … 究竟等于多少呢？我们来证明，它小于 2 。这是因为：

1 1 / 22 1 / 32 1 / 42 1 / 52 …< 1 1 / (1 × 2) 1 / (2 × 3) 1 / (3 × 4) 1 / (4 × 5) …= 1 1 – 1/2 1/2 – 1/3 1/3 – 1/4 1/4 – 1/5 …= 2

别忘了， 1 1 / 22 1 / 32 1 / 42 1 / 52 … 是我们把所求的概率值取了倒数后的结果。因此，我们所求的概率值就应该大于 1/2 了。也就是说，这道题目的正确答案是 A 。

可以证明， 1 1 / 22 1 / 32 1 / 42 1 / 52 … 实际上等于 π2 / 6 。因此，任意两个正整数互质的概率就是 6 / π2 ≈ 0.608 。神奇的数学常数 π 经常会出现在一些与圆形八竿子打不着的地方，比如我们之前提过的 Buffon 投针问题。而大家刚才看到互质概率问题，才是我觉得最为经典的例子之一。

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今天的题目你答对了多少？连续十期的反直觉推理题已经结束了，如果回看的读者可以收藏下面的链接，欢迎关注我们后续的文章哦

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