等腰三角形四等分技巧图解（基本图形分析法）

【分析方法导引】

当几何问题中出现了等腰三角形中的下列三种条件之一：顶角的角平分线；底边上的高；底边的中点或出现了一线端（将其看作是某三角形的一条边）上的高、中线或所对角的角平分线中的两条重合在一起时，就可以想到要应用等腰三角形中重要线段的基本图形进行证明。这时总共可出现六种可能情况，就按每一种情况分别讨论完成基本图形的添加。就下来就可以根据基本图形的四个基本性质所具有的两两等价性质完成分析。即在这四个基本性质中，只要有两个成立，就必定可以推得另外两个成立。在分析中一般的情况是，四个性质中有一个是要证明的结论，有一个是已经给出的条件，从而要证明结论成立，就应转而证明另外两个性质中的一个，只要其中的一个性质获证，那就可以根据两两等价性推得结论成立。由于在上述分析过程中要在两个性质中选择证明一个，所以必然也就出现了分析上的两种可能性。

例1 如图3-86，已知：△ABC中，AB=AC，CD是边AB上的高。求证：∠ BCD=1/2∠A

图3-86

分析：本题要证明的结论∠BCD=1/2∠A，是两个角之间的倍半关系，所以可以根据两个角的倍半关系的定义将大的角两等分后，证明大的角的一半和小的角相等，于是可作∠BAC的角平分线交BC于E（如图3-87），问题就转化为应证∠BAE=∠BCD。

图3-87

然而在作出了∠BAC的角平分线AE后，由于已知AB=AC，所以就出现了AE是等腰△ABC的顶角的角平分线，所以就可以应用等腰三角形中的重要线段这个基本图形的性质得AE⊥BC，进一步又可得∠BAE ∠B=90°，而由CD⊥AB，还可得∠BCD ∠B=90°，所以∠BAE=∠BCD就可以证明。

在上述分析中，在得到AE⊥BC，∠AEC=90°后，也可以再由AB⊥DC，∠ADC=90°，得A、D、E、C四点共圆，那么应用圆周角的基本图形的性质，也可以直接推得∠BAE=∠BCD。

本题在根据两个角的倍半关系的定义进行分析时，也可以考虑另一种可能性，就是做出小的角的两倍角，再证明所得到的角和大的角相等，于是作∠BCE=∠BCD，然后就要证明∠DCE=∠A。在作∠BCE=∠BCD时，当然会遇到一个问题，就是CE应作多长？由于∠BCE和∠BCD是关于BC成轴对称的，所以可添加一对轴对称型的全等三角形进行证明，于是根据图形的轴对称性可取CE=CD。这样又出现了它们是两条具有公共端点的相等线段，它们就可以组成一个等腰三角形，而这个等腰三角形目前只有两条腰，而没有底边，所以应将底边添上，也就是联结DE（如图3-88）。这样在这个等腰△CDE中，又出现了CB是顶角的角平分线，所以就可以应用等腰三角形中的重要线段的基本图形，实质上也就是一对轴对称型的全等三角形的性质进行证明，于是就可以由CD=CE和∠DCB=∠ECB，并设DE与BC的交点为F后，推得CF⊥DF。再由条件∠CDB=90°，所以DF就是Rt△BCD的斜边上的高，应用直角三角形斜边上的高的基本图形的性质，可得∠CDF=∠B，那么在△ABC和△CDE中，首先它们都是等腰三角形，且它们的底角（∠CDF和∠B）相等，所以它们的顶角也必定相等，分析即可完成。

图3-88

例2 如图3-89，已知：平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB的长为半径作⊙A交BC、AD于E、F，交BA的延长线于G，EG交AD于H。求证：EH=GH。

图3-89

分析：本题的条件中出现了BG是⊙A的直径，所以就想到要应用直径的性质，也就是半圆上的圆周角的基本图形的性质进行证明，于是就可得∠BEG=90°。而已知四边形ABCD是平行四边形，AD∥BC，所以∠AHG=∠BEG=90°。而现在要证的结论是EH=GH，出现了EG边上的高和中线重合，也就是出现了线段EG的垂直平分线，所以可添加等腰三角形中的重要线段这个基本图形进行证明，添加的方法是将等腰三角形的腰添上，于是联结AE（如图3-90），由于AE和AG都是⊙A的半径，所以AE=AG，再加上AH⊥EG，当然就可以推得EH=GH。

图3-90

本题的分析也可以从已知的圆的条件开始，因为圆内不在一直线上的两条半径可以组成一个等腰三角形，同时在图形中过E点的半径尚未出现，所以可首先将半径AE添上（如图3-91），这样AB和AE这两条半径就成为由同一点A发出的两条相等线段，它们就可以组成一个等腰三角形，又因为条件中给出AD∥BC，就构成了等腰三角形和平行线的组合关系，这样就必然会出现角平分线，于是由AB=AE，得∠B=∠AEB，由AD∥BC，得∠B=∠GAD，∠AEB=∠EAD，从而进一步推得∠GAD=∠EAD。又因为AG和AE也是同圆的两条半径，它们也可以组成等腰△AEG，而AH是顶角的角平分线，所以应用等腰三角形中重要线段的基本图形性质也可以证明EH=GH。

图3-91