数学模型简单实例（小学数学建模002鸡兔同笼模型）

记载了这样一个有趣的问题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？

意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。问笼中各有多少只鸡和兔？

我们知道鸡兔同笼问题有公式：

鸡的只数= （兔的脚数 × 总只数 - 总脚数）÷（兔的脚数 - 鸡的脚数）

兔的只数= （总脚数 - 鸡的脚数 × 总只数）÷（兔的脚数 - 鸡的脚数）

其中，兔的脚数为4，鸡的脚数为2，这是已知常识。

当然，孩子记住公式，要解答上面的题目，是没有问题的

即：鸡的只数=（4×35-94）÷2=23（只）（注释：也可以先算兔的只数）

所以，兔子=35-23=12（只）（注释：然后用总数减去兔子数得出鸡数）

一、育才小学四年级举行数学竞赛，共20道题，做对一题得5分，不做得0分，做错一题倒扣2分。

问：①小明每道题都做了，却只得了58分，他做错了几题，做对了几题？

②小强得了64分，他做错的题和没做的题一样多，小强做对了几道题？

二、某零件加工厂按照工人完成的合格零件和不合格零件支付工资，工人每做出一个合格零件就能得到工资10元，每做一个不合格零件将被扣除5元，已知某人一天共做了12个零件，得工资90元，那么他在这一天做了多少个不合格零件？

三、有蜘蛛、蜻蜓和蝉三种动物共23只。蜘蛛有8条腿但没有翅膀，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀，三种动物一共有160条腿、20对翅膀。请问：三种动物各有多少只？

……

有太多的这类问题，数不胜数，如果孩子只是记住鸡兔同笼的公式，让他套其他的问题，孩子甚至都分不清哪是鸡，哪是兔，哪是鸡腿和兔腿了！哈哈!!!

所以，要想遇到这类问题，都能从容应对，顺利解答。必须要让孩子弄明白鸡兔同笼问题的本质，通过本质发现规律，利用规律解答问题。这样一个过程，就是锻炼逻辑思维能力的过程，是数学建模的过程。

鸡兔同笼问题的本质有哪些

1、固定量：鸡和兔的头都是一样的，都是1个，所以，鸡和兔的头总数就是鸡兔总数。

2、等差量：兔有4条腿，鸡2条腿，1只兔比鸡的腿多2，2只多4……

所以，问题的本质是，兔和鸡的腿相差2，这个等差量会造成，总腿数量随着鸡兔各自数量的变化而有规律的变化；而鸡兔的头相差0，总头数量随着鸡兔各自数量的变化而没有变化（后者说变化是0），是固定的。

即、每多1只鸡，总腿数少2；那么，全是鸡，总腿数会变少，少多少呢？就是多出来的鸡数（兔子变得，也就是兔子的数量）×2；

每多1只兔，总腿数多2；那么，全是兔，总腿数也变多，多多少呢？就是多出来的兔数（鸡变的，也就是鸡的数量）×2；

每多1只鸡或兔，总头数不变；

所以，再来解答孙子算经，便是

共35个头，即，兔子数 鸡数=35，

全是鸡，应该是35×2=70（只）腿，比题目腿总数94，减少了24条腿，是兔子变的。

所以兔子数量=24÷2=12（只）

利用上述模型的本质规律，我们再来解答例题三

有蜘蛛、蜻蜓和蝉三种动物共23只。蜘蛛有8条腿但没有翅膀，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀，三种动物一共有160条腿、20对翅膀。请问：三种动物各有多少只？

1、题目中，固定量是什么，三个物种的总量是23只固定；蜻蜓和蝉的腿，都是6条固定，把它们放一起，和蜘蛛的腿8条，就形成了一个固定的腿的等差量2

所以，23只全是蜻蜓和蝉，应该是23×6=138（条）腿，

腿的总量变化为：160-138=22（条），这是蜘蛛变成蜻蜓和蝉，而造成的

1只蜘蛛变成蜻蜓或蝉，多2条腿，共需要多22条腿，

所以，22÷2=11，便是蜘蛛的数量。

2、蜻蜓和蝉共12只，他们腿一样多，即腿的等差为0，但翅膀不一样，翅膀等差为1

所以，全是蜻蜓，翅膀应该是，12×2=24（对）翅膀，比题目中20多4，多出的4对翅膀总量，是通过把蝉变成蜻蜓而来的。

即，蝉的数量=4÷1=4（只）

最后，如果严格把鸡兔同笼及类似问题进行数学建模，就是如下图二元线性方程即二元一次方程组，如果暂时孩子还没学到未知数和方程，可以先不教。先教会孩子找题目中固定量与变量，及他们之间的关系。为后面学习方程及方程组打好基础。

解应用题，难点不是解方程，而是根据题目中的固定量与变量，结合给出的条件，找到变化规律，即列出方程或方程组，这便是初步的数学建模过程。