一个人需要掌握的数学常识（学数学最需要知道的8个数）

数是无限多的，处理数的办法也是无限多的。数学家们常常把数表示在一条直线上，这条直线就是教材上说的数轴。在数轴上取一个点，这个点就代表了一个数。到头来，我们所用的几乎所有的数都是建立在构成数学基础的那些非常重要的数之上。

而下面介绍的的八个数，是你构建数轴必须的，也是你做其它和数相关的事需要的。

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“0”：一切从“零”开始

“0”表示没有。“0”也是我们构造数系必需的一个数。当我们要写的数不止一位数时，“0”就是一个占位符号——“0”让我们清楚地知道2块钱和20块钱的区别。

“0”本身在数学时也是至关重要的数。“0”是“加法单位元”——任何数加上“0”得到的还是那个数本身：3 0=3。“0”的这个性质也是它在算术和代数中的核心性质。“0”在数轴中间，把数轴分成正半轴和负半轴两部分，而且它还是我们构建数系的起点。

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“1”： 只有零我们做不了太多，于是我们有了“一”。

“0”是“加法单位元”，而是“1”是乘法单位元——任何一个数乘以“1”得到的数都是那个数本身：5×1=5。

有了“1”，我们就能开始构建我们的数轴了。特别的，我们用“1”来得到自然数：0，1，2，3，4，5，等等。我们不断地在其自身上加上“1”来得到不同的数：2就是1 1，3就是2 1，4就是3 1，不断下去，直到无穷。

自然数是我们最基本的数。我们利用它们来数东西。同样，我们可以用自然数来做算术：两个自数然，它们相加或者相乘，能得到别的自然数。

一些时候——当然不是任何时候——我们也能用减法和除法得到别的自然数：10-7=3以及18÷2=9。只需用“0”、“1”和基本的算术运算，我们已经能做得很不错了，很多数学也只用到了自然数。

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“—1”： 自然数已经非常好了，但它能做的事还是很有限。

刚才说过，不是任何两个自然数相减都能得到自然数。如果我们所有事都围绕自然数来做，我们无法解释像这样一个式子：3-7。

在数学里，有一种精彩的事故——当遇到类似局限时，我们可以扩充我们的系统来打破这样的局限。为了让每个减法有意义，我们加入“-1”来扩充我们的数轴。“-1”能生产出所有负整数，因为“-1”与任何数相乘能得到那个数的相反数：-3就是-1×3。

带来负整数的同时，我们也解决了刚才减法的问题：3-8=-5。把正整数、零和负整数放在一起，我们得到了整数，而且我们在任何时候都可以将两个整数做减法，得到的还是整数。整数为数轴提供了很多锚点。

负数对欠款的表示很有用。如果我信用透资取了500块钱，于是我可以认为银行账户的余额为-500元。负数也让我们在一些数量表示时，使用比零小的数成为可能，比如说气温。在冰冷南极，平均气温能达到-40°C左右。

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“1/10”： 整数适用于描述完整的事物，但对于一些事物我们需要讨论它的一部分。

同样的，整数的算术体系同样不完整——即便我们任何时候把两个整数做加、减、乘还是得到整数，但是有时候，两个整数做除法，我们得不到整数。如只有整数，9÷5将没有意义。

为了应付这个情况，我们在数轴上加入“1/10”，或者说“0.1”。有了“0.1”，我们对他做乘方能得到0.01，0,001，0.0001，等等。这样，我们能表示分数和小数了。

9÷5就是1.8。两个整数相除（被除数不能为零）能得到小数。它们有的是有限小数，像1.8，有的是循环小数，像1÷3=0.33333……,无限个3循环下去。

这种形式的小数，我们叫有理数，他们能表示成两个整数的比值，即分数。有理数在算术运算下已经是封闭的了——对任何两个有理数做加、减、乘、除得到的还是有理数。

有理数让我们能表示出整数之间的数，也能表示出一个整体的一部分。比如我和我的三个朋友要分享一个大蛋糕，我们把蛋糕切了，每人拿到蛋糕的1/4，0.25或者25%。有理数帮助我们开始填补数轴上整数与整数之前的缝隙了。

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“根号2”： 有理数打开了无理数的大门，因为有的数不能表示成整数的之间的比。

一个数的算术平方根是这样一个非负数，即它的平方等于原来的那个数。于是9的算术平方根是3，因为3² = 3 x 3 = 9。我们能为每一个正数找到算术平方根，只是有一些，他们的算术平方根有些复杂。

2的算术平方根就是这样复杂的数。它是一个无理数——他的小数展开后，不会终止，也不会循环。“根号2”展开的数字是这样的1.41421356237……看起来规律很奇怪和混乱。

实际上，大部分有理数的算术平方根都是无理数——而一些例外，比如说9叫做完全平方数。平方根在代数是非常重要，它们是很多方程的解。比如说“根号2”是x²=2的解。

有理数和无理数放在数轴上，我们就能铺满整个数轴。有理数和无理数一起，我们称为实数，它们是在各种计算中最常用到的数。现在，我们完成了整个数轴的构建，我们来看看一对非常重要的无理数。

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“π”： 现在我们来增加维度，到平面和立体几何中去。

圆周率“π”——圆周长与半径之比——可能是几何中最重要的一个数。“π”展示了一些关于圆和球的基本关系——半径为r的圆的面积是πr²，半径为r的球的面积是4πr³/3。

“π”在三角函数也有重要性质。2π是基本三角函数正弦函数和余弦函数是最小正周期。就是说，函数值在每一个2π长度的区间上不断重复。这样的函数用于描述周期变化或者不断往复的事物，比如说声波。

和“根号2”一样，“π”是一个无理数。它的小数展开不会终止，也不会循环。开始的几位小数大家非常熟悉， 3.14159……，数学家用计算机，通过夜以继日的计算，面把“π”展开到了10万亿位以后，但我们大多时候只需要前面很少的几位，去得到一些精确的结果。

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“e”： 用它来计算复利

自然对数底，又叫欧拉数，用“e”来表示。“e”是指数函数的底数。指数函数用来表示一个事物数理倍增或者衰减的过程。如果一开始两只兔子，一个月后有了4只，两个月后有了8只，三个月后有了16只。推广下去，n个月后，有了2n 1只，——n 1个2自己乘起来。

“e”是无理数，展开是2.71828……，但和所有无理数一样，小数点后面的数字永远不会终止也不会循环。ex叫做自然指数函数，他是其它指数函数的基准。

原因有些许复杂，因为ex很特别。如果你们学过微积分，你会知道ex的导数还是ex。就是说对每个x，函数ex的在点x的增长率正好是函数值本身——比如x=2，那么ex在这点的增长率是e²。这是只有ex才具有的唯一性质，使得ex在数学上有着非常漂亮的操作性。

ex在大部分指数过程中很有用。有一个常见应用就是计算复利。初始的本金是P，年利率是r，那么在t年投资回报A(t)可以表示成公式A(t)=Pert。

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“i”： 现在，虚数来了

我们之前提到的内容，我们知道每个正数都能计算的算术平方根，所以我们来看看对于负数会发生什么。负数在实数范围内是没有算术平方根的。两个负数相乘得到的是正数，所以任何实数的平方都是不小于零的，即没有一个实数的平方是负数。但是，我们之前也说过，当遇到局限时，我们可以扩充我们的系统来打破这样的局限。

所以，我们遇到的局限是“-1”没有平方根，于是我们就傻傻地问自己，如果有会怎么样？我们定义了“i”，叫做虚数单位，作为“-1”的平方根。然后，把所有的数作加、减、乘、除，想办法让这些结果有意义，于是我们把实数扩展到了复数。

复数有着很多让人惊奇的性质和应用。我们把实数用一条直线表示，我们也能把复数用一个平面表示，横轴表示实数，纵轴上的点都是虚数，用来表示负数的平方根。每个多项式方程至少有一个复数解，这是一个非常重要的结果，数学家们称为代数基本定理。在几何上，复平面能导出很多让人吃惊和漂亮的结果，在物理的电学和工程中也有很多应用。

学之道——善学者,事半而功倍,又从而悦之;不善学者,事倍而功半,又从而厌之。

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