质数只能是1和它本身的倍数（质数与音乐之间的共舞）

将素数分解为音乐，这就是黎曼假设的数学结论。对这个数学定理诗意化的描述就是素数本身拥有音乐，并且还是后现代的音乐。

——麦克尔·贝里,布里斯托大学

文章: plus.maths.org/content/music-primes

译者: 向海飞 校对: 向海飞

质数与音乐

古往今来许多人都曾评论过数学和音乐之间的相似性。莱布尼兹曾说过：“音乐给予人下意识数数时的愉悦感受。”但二者的相似性不仅在于数数方面。音乐作品的美感与最优秀的数学作品之间有诸多共性。在这些作品中，都先确立主题，然后旋律激荡、扣人心弦，直到最后渐入佳境。正如我们重听一段音乐就会发现初听时错过共鸣那样，数学家们经常也有这种体会，即在重复阅读证明过程时，注意到那些使得作品自洽的精妙之处。

我们的数学教育失误之一在于，很少人意识到在校园算数之外，竟还有如此精彩的数学乐章有待他们去欣赏。我们在学校里花时间学习数学作品的音阶和节拍，却不明白熟练习题会把我们带往何种趣所。若体会不到聆听拉赫曼尼诺夫作品时的乐趣，则很少人能有耐心去学习钢琴。

黎曼的交响曲

数学中最伟大的交响乐作品之一是黎曼猜想——人类试图理解质数的奥秘。每一代数学家都在这件事上贡献出了自己的力量，共同影响着人类对质数的理解。

每当我们试图掌握这些神秘的质数时，音乐主题就会变奏转调。但这是一部未完成的交响曲。我们仍在等待一位伟大的数学家，期望他能将最后的和弦添加到这伟大的作品之中。

但数学和音乐不只是美学上相似。黎曼发现，音乐的物理特性是开启质数秘密的钥匙。他发现了神秘的调和结构，可以解释当大自然选择质数时，高斯的质数骰子是如何真正落地的。

高斯的函数与质数的比较

学生时代的黎曼非常害羞，他宁愿窝在校长图书室里阅读数学书籍，也不愿跟同学们出去玩耍。期间他首次了解到高斯关于质数分布规律的猜想。基于质数骰子的想法，高斯给出了名为对数积分的函数，这个函数似乎能很好地估计质数的分布。上图显示该函数与100以内质数数目的对比关系。

高斯的猜想基于掷骰子。骰子有一面标为“质数”，其他各面是空白。骰子的面数随着测试的数值增大而增加，高斯发现对数积分函数可以给出骰子的面数。例如要测试1000左右的质数需要一个六面骰子。为了猜出质数的数量，高斯假设一个6面骰子掷出质数面的概率是1/6。但掷6000次骰子当然不太可能正好出现1000次质数面。一个公平的骰子允许高于或低于这个概率值。但是有没有办法去理解高斯的理论猜想和质数骰子落地方式呢?当时33岁的黎曼在哥廷根工作，他发现可以用音乐来解释如何把高斯图变成实际计量质数的阶梯图。

形状和声音

要理解黎曼的想法，关键是要搞懂，为什么由音叉、小提琴和单簧管等乐器分别演奏的同一个音符A，听起来却有明显差异。音叉的声波图看起来像一个完美的正弦波。相比之下，小提琴演奏的同一个音符的声波图就像锯齿。你可以通过文末[了解更多]链接中的视频对比音叉、小提琴和单簧管演奏的A音的声音和波形。

小提琴与音叉的外观和音色都不同，小提琴演奏时发出的不仅有单音A，同时含有其他不同的频率成分，叫做谐波。每段合理弦长下的正弦波都对应一个额外的音符。每个谐音都比根音震动得更快，意味着谐音听起来比根音尖锐。各谐音随频率走高而偏静，即其相应正弦波的振幅会降低。

在音叉波形图上添加这些额外的谐波，可以看到如何把正弦波形变成小提琴的锯齿波形。通过下面动图，看看前五个谐波是如何组合在一起形成小提琴的声音波形的。

与小提琴的声音不同，单簧管的声音是用城墙上炮垛口形状的方波波形来描述的。与小提琴的尖锐音相比，它的声音更接近闷音。正如小提琴特有的声音是由额外的和声组成一样，单簧管的声音也是通过同时演奏一组不同频率的正弦波而形成的。这些正弦波必须与单端开口的单簧管的长度相符。因此单簧管的谐音序列有异于小提琴。

把所有谐音波形加起来，可见单簧管的方波形状源于音叉A音的基波。通过下图看看前五个谐波如何组合成单簧管的声音波形。

黎曼的谐波

黎曼发现，高斯的对数积分函数图像就像乐器发出的根音一样，但是存在一些特定的谐波，一旦加到图像上，就会逐渐将其变成质数的真像或“声音”。正如单簧管的谐波加到正弦波上形成方波那样。

黎曼最早发现的一些谐波

下边动画展示了添加前100个谐波的效果。每增加一个谐波，原本平滑的图形就变得更扭曲。黎曼意识到，当添加无数个谐波时，最终的图像会精确匹配质数函数的阶梯形状。

黎曼谐波的影响

(未完待续)

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