数学常用的数学思想（从历史的角度讲大学数学）

本文标题所说的大学数学主要是指在18、19世纪和20世纪初发展起来的近代数学。近代数学的发展成果基本上浓缩在了目前在大学数学系所开设的十一门基础性的数学课程中，这些课程是：数学分析、高等代数（或线性代数）、常微分方程、复变函数论、微分几何、偏微分方程、概率论、实变函数论、抽象代数、拓扑学、泛函分析。

所有这些课程的主要经典内容都经过了近百年来的反复提炼与改进，已经逐渐成型，各门课程所使用的教材也越写越成熟。不过，有一个长久以来存在的问题是：大学数学的教学过程基本上还都是按照严格的学科体系和逻辑推理来进行实施的，对大多数学生来说，许多内容显得比较抽象和难懂，特别是常规的大学数学的“定义-定理-证明-推论-例题”五步曲格式容易使学生感到困惑，不明白这些复杂的概念和理论的真正含义是什么，它们到底要解决什么问题？

和别的自然科学与社会科学学科完全不同，大学数学的主要研究对象是抽象的模式和理论，而不是自然界的物质和人类社会中的现象，因此让没有多少学习阅历的数学专业的学生来正确地理解和把握近代数学的本质是比较困难的。数学家J. L. Casti 曾说：“在数学中，要讲述真理是极其困难的，数学理论的形式化的陈述并没有讲清全部的真理。”在已经成熟的数学理论中很少看到理论形成的过程，“我们的数学家习惯于系统地擦去我们走过的足迹。科学家们总是不理解地看待数学家的这种怪异的习惯，而这种习惯自毕达哥拉斯以来直至今天几乎没有改变。”

数学家H. Bass这样分析了这其中的原因：

★

“数学有一个本性的趋向——利用抽象和一般化——由此而将广泛领域中的素材加以综合与提炼，形成简单而又统一的概念与方法，去处理各种各样复杂的情况。这个过程有时被称为‘压缩’，有意思的是，这种很有效的知识形成过程却对进行教学的数学家来说是一个障碍，他在这时必须担当起‘解开压缩’的角色，这样才能让那些自主研究学习能力不强的学生来逐渐理解数学。”

”

Bass所说的“解开压缩”的教学方法实际上就是按照数学原来的发展顺序，将数学思想逐步演进的历史过程与数学严格的逻辑推理过程有机地结合起来，补上在数学的发展过程中被舍弃的中间过程（即适当地重新呈献早先的数学家曾经“走过的足迹”），使学生能够了解现代精练抽象的数学理论是怎么来的，从而能够理解大学数学概念与定理背后的真正内涵。这种被称为“历史途径法” 的教学方法不是简单地在传统的只讲逻辑推理的课程体系中堆砌一些数学史料和数学家的生平故事来调节数学的枯燥叙述，而是尽量在历史的框架中来讲授数学课程的内容，从而更容易抓住大学数学的本质思想和内容。数学教育的研究已经证实：数学历史的发展过程与学习者个人认识理解数学的心理程序有极明显的相似之处，因此历史途径法对于大学数学的教学有极大的帮助作用。

为大多数学生考虑，历史途径法一般不是从现代的十分精练的数学定义出发，来展开各种定理和公式及其证明的教学，而是用历史上曾经出现过的原始数学问题来引入教学的主题，采用具体简单的素材作铺垫，从中逐步引导出抽象的数学概念与命题，并且运用前人具有启发性的有趣朴素想法来解决一些相对简单的问题，这样可以揭示出抽象的数学概念与方法的实际内涵，从而使初学者不至于在过多的严格复杂的逻辑推理中迷失方向。由于我们已经了解了数学后来的发展过程，所以可以选取对以后的发展来说是至关重要的思想和方法，也就是用历史发展线索在大量复杂的数学知识体系中找出基本的概念与方法，并且将具体的历史演进过程与学科严密的逻辑推理体系巧妙地结合起来，由浅入深地合理编排有关教学内容。

从国外已经出版的许多用历史途径法来写的大学数学教材与参考科普读物的反映看，历史途径法非常有利于学生学习抽象的大学数学，它可以揭开大学数学的神秘面纱，降低学习的难度，从而使学生产生继续学习和研究现代数学的兴趣（例如可以参阅笔者的微信文章“数学文化在日本”）。

由前苏联一批杰出的数学家在上世纪50年代编写的《数学：它的内容、方法和意义》（以下简称《数学》）是一部帮助数学系的大学生学习数学的综合普及类读物，其三卷的中译本的总篇幅达到了一千多页。它不同于一般的大学数学教材的地方是：尽量运用历史途径法和通俗浅显的语言，来深入浅出地解释各门大学数学课程中一些最基本概念和理论的含义，而不是面面俱到，并且适当地降低数学理论表达上的严格性和一般性。《数学》总共包含有二十章，涵盖了上面所说的数学系开设的十一门课程中最基本的初步内容。

图1 《数学：它的内容、方法和意义（第一、二、三卷）》

虽然《数学》不是一本严格意义上的教科书，但是它在介绍大学数学的主要课程内容时，按照数学历史发展的主要线索，力求通俗地介绍大学数学各主要课程所要解决的问题和一些有代表性的概念和理论。为此《数学》尽量减少使用高深的专业术语，并且选取对解决课程的教学难点有帮助的历史素材和至关重要的思想方法，努力还原被擦去的“走过的足迹”。由于《数学》充分地利用了历史途径法来深入浅出地解释大学数学各门课程中一些最基本概念和理论的内涵，所以它对目前有比较严密的理论体系的各门大学数学课程和教科书来说，是一个极好的补充。笔者特别建议数学系的同学们在学习各门大学数学课程前，先用心地读一遍《数学》中的相关章节。

图2 《数学：它的内容、方法和意义》第二、三卷各章的内容

下面主要就针对大学数学系的十一门课程，分别对《数学》所介绍的内容、以及它们与这些数学课程的历史发展之间的紧密联系作一些简要的分析与说明。

一、数学分析

目前国内数学分析课程的内容一般由极限论、一元微积分、级数论和多元微积分这四大部分所组成，其中一元微积分对应了通常国外所说的“初等微积分”课程，而极限论、级数论和多元微积分这三部分则对应了国外所说的“高等微积分”课程。

极限理论的主要内容有：数列的极限、函数的极限、连续函数、关于实数的基本定理、以及闭区间上连续函数的性质。之所以要在讲微积分前系统地讲清楚极限的理论，主要是想为整个数学分析课程打好一个坚实的数学理论推理的基础。但是这个教学体系的主要缺点是：当学生对微积分还没有一个初步的了解时，就直接让学生学习严格的极限理论，容易造成一定的学习困难。

在历史上，在微积分理论发展了将近两百年后，才慢慢出现了严格的极限理论。极限理论的主要目的是为了解决求微分或导数、求积分、以及判别级数的收敛性时出现的各种困难问题。例如，是不是连续函数都可微？是不是可微函数都连续？若一个函数在每一点可微，那么它的导函数是否连续？反过来，连续函数可微吗？历史上还曾经出现过令人震惊的连续但不可微函数的例子。为此必须仔细地考察导数的定义及其基本性质，以及研究函数的连续性，而不是仅仅依赖连续的直观形象。在此之前就必然要引入函数极限的严格定义，从而自然导致出现了函数极限的﹣定义。这个定义把注意力集中在如何精确地表达“要多小就有多小”的问题上，从而可以彻底解决所有有关收敛性的困惑。这些令人困惑的收敛性问题还包括了“连续函数的一个收敛级数的和是否一定连续”的经典问题，它的彻底解决依靠了一个从ε-δ 定义发展出来的一致收敛定义。

很明显，只有对初等微积分已经有了初步的了解，才能比较好地理解严格的极限理论。在《数学》的第二章“数学分析”中，作者详细介绍了初等微积分理论中各个主要内容，它们包括数列与函数的直观极限定义、一元连续函数与导数、一元函数的极值与图形、泰勒公式、定积分与不定积分、多元函数与偏导数、重积分、线积分与面积分、级数论等基本内容。《数学》的作者从历史发展的角度出发，能够深入浅出地解释微积分基础理论中最基本的思想。例如在“极限”这一节中，作者虽然没有明确地使用精确的﹣定义来证明有关数列的极限，但是却用了具体的数值例子来说明这个极限定义的内在含义。

又如在讲牛顿-莱布尼茨公式时，该书尽管没有证明这个基本公式，却用非常简单的物理学推理来说明这个公式的合理性与正确性。还有在“级数”这一节中，作者不仅介绍了数项级数收敛和绝对收敛的概念，而且还讨论了函数项级数的一致收敛的基本概念（该书将一致收敛译成了“均匀收敛”）。这使我们看到，不借助于严格的ε-δ 语言，同样可以展开关于具有一致收敛性的函数项级数性质的讨论。特别是在“级数”这一节的后半部分，作者仔细解释了幂级数理论的基本思想，其方法是先举例说明幂级数是有收敛区间的，然后在一个特定区间上具体地考察函数1/(1-x) 与它的幂级数展开式到底相差多少（即用了前8项就可以达到0.01的精确度），从而让学生体会幂级数收敛的含义（见图3）。

图3 《数学》用具体例子说明幂级数收敛的含义

接下来为了说明幂级数的用处，作者先用幂级数的方法来解一个最简单的微分方程y'=y，这个方程的级数解当然就是指数函数e^x，然后说明用幂级数来解一般的微分方程，所得到的解并不一定就是学生们熟悉的初等函数，作者举了贝塞尔函数的例子（它是贝塞尔微分方程的解），从而很好地解释了函数项级数的一个主要用途是求解微分方程，以及它对于产生更多的新函数所起的关键作用。

二、高等代数（或线性代数）数学家丘成桐先生曾经说过：

“要学好微积分和线性代数，归根结底一切高级的数学都是微积分和线性代数的各种变化。”（转引自林群先生的微信文章“怎样学好数学”）

丘先生的这句话很好地说明了线性代数这门课程在大学数学课程体系中的基础地位。

在大学数学中，“线性”两字的含义是指一次关系式。由于“以直代曲”是人们处理很多数学问题的常用思路，所以经常将复杂的数学问题归结为比较简单的线性问题，这样，线性代数的理论与方法就渗透到现代数学的许多分支学科。

线性代数的内容大致可以分为两大部分：第一部分包括了矩阵论、行列式、线性方程组等内容，第二部分则主要包括了线性空间、线性变换、欧氏空间等内容。线性代数教学的一个主要误区是人们往往只注重演绎证明，而不太重视介绍线性代数的思想来源和丰富的应用，特别是忽视对低维（或低阶）情形的讨论。

在线性代数的历史发展进程中，二次型及其矩阵的特征值起到了突出的作用，这是因为它直接引导出后续的“对角化”这一线性代数的中心主题。早在18世纪之前，数学家们就已经解决了二次曲线的化简问题，也就是通过旋转坐标轴，可以将二次曲线方程中的二次型化成只有平方项的标准形，再经过坐标轴的平移，就得到了二次曲线的标准方程。在18世纪，欧拉和拉格朗日在研究化简二次曲面的方程时，得到了3个变量二次型的主轴定理，而到了19世纪初期，数学家柯西进一步证明了 个变量二次型的主轴定理。主轴定理用矩阵的语言来说就是：实对称矩阵一定和一个对角矩阵相似，并且这个对角矩阵的所有对角元素都是该实对称矩阵的特征值。

这个一般二次型化简问题的彻底解决逐渐引发了后续关于矩阵对角化问题的一系列研究。今天的矩阵特征值概念是数学家凯莱在19世纪中期创建矩阵论的过程中正式提出的，而线性变换的特征值的概念则一直要等到20世纪初，人们在研究积分方程的求解问题以及相关的泛函分析问题时，才逐渐产生线性变换的特征值的概念，这个概念是矩阵特征值概念的深刻推广。例如在积分方程的研究中，需要计算如下线性变换

的特征值，其所对应的特征向量可以用来构造相关的积分方程的解，这里的是函数空间上的一个线性变换。此时出于研究函数空间的需要，数学家们以高维欧氏空间 以及其上的线性变换为蓝本，提出了一般的线性空间和线性变换的理论，并且把空间中的主轴定理推广到了一般的欧氏空间（也称为“内积空间”）。

《数学》第三卷的第十六章详细介绍了线性代数这门课程的基本思想。在今天看来，非常基本的线性代数课程要放在第三卷才介绍，是有些奇怪的。这说明在写作《数学》的上世纪50年代，苏联的大学数学系学生要在大学的高年级才开始学习线性代数这门课程。而上世纪的50年代正是由近代数学转换到现代数学的年代，现代数学区别于近代数学的一个重要标志是：现代数学主要研究高维空间（或高维流形），而近代数学则主要研究三维空间。线性代数这门课程的性质就决定了它是研究高维几何空间的必备工具。

在线性代数这一章的第一节，作者介绍了矩阵运算的基本性质，特别是用连续进行两次线性替换的例子来引入矩阵的乘法运算。第二节是讲线性空间和欧氏空间的定义，以及它们的基本几何性质，作者特别注重对于线性相关和线性无关理论的阐述，这是线性空间理论的核心部分。作者将一组向量线性相关定义为其中的一个向量是其余向量的线性组合（这比较容易理解），并且从几何的角度将k个向量线性相关归纳为它们落在一个维数小于的一个子空间中。第三节介绍线性方程组和行列式的计算，以及它们的主要性质。作者在这里将行列式与线性方程组结合起来讲，就能够讲清楚行列式理论的来龙去脉。对于线性方程组的一般理论，也是从直观的几何角度来解释解空间的几何构造。第四节讲解了线性变换理论的基本思想，其中包括了矩阵对角化的一般结果——若尔当标准形。

作者在第五节重点讲了二次型的经典理论。首先是详细解释了一个二元函数的极值问题是怎样归结为一个二次型问题的，然后和我们通常的教材一样，讲如何用配方法来化简一般的二次型，以及二次型的惯性定律。接下来，作者用了一个比较初等的推理过程，详细证明了一般二次型的主轴定理，即可以运用正交线性替换来化简二次型，其中显示了特征值与特征向量的基本作用。在这里，作者大致就是按照历史发展的途径来讲的（用二次型的化简问题来引出和联系线性代数中主要的学习内容，也成为了笔者在2019年新编写的教材《高等代数与解析几何》（上、下册）中的指导思想）。作者在第六节还进一步介绍了在应用中特别有用的矩阵函数，特别是矩阵的指数函数在解线性常微分方程组中的应用。

三、常微分方程

常微分方程是含有自变量、未知函数及它的导数的等式。常微分方程这门课程的主要内容有：一阶常微分方程的初等解法、一阶常微分方程的解的存在定理、高阶常微分方程、线性微分方程组、非线性微分方程组和稳定性。这门课程需要用到数学分析和线性代数中的一些基本知识。

在历史上，很多涉及运动与演化的物理问题和技术问题的研究都可以化归为常微分方程的求解问题，这是因为反映自然规律的量与量之间函数关系往往不能直接写出来，而此时却比较容易建立这些变量与它们的导数之间的关系式。一般来说，绝大多数的微分方程都是比较难求解的，因此对于学生来说，重要的是：通过这门课程的学习，来掌握处理微分方程问题最基本的思想方法，而不是着眼于求解具体某一类的微分方程。

《数学》的第二卷第五章专门讲常微分方程。这一章的目的是使学生对这门课程先有一个整体的了解，并力求说明常微分方程理论所要解决的主要问题是什么。作者以一个简单的齐次线性常系数微分方程

为例，非常仔细地说明了如何将这个微分方程转化为一个一元二次方程，从而可以求出它的精确解，并且对所求出的通解，还要考察其唯一性和稳定性，以及从物理学（振动）的角度，来看它与相关的非齐次微分方程解的联系。接下来，作者进一步介绍了一般常微分方程的解的存在性和唯一性定理，特别是在求不出精确解的情况下，经常需要运用经典的欧拉折线法和逐次逼近法来求出常微分方程的近似解。

此外，《数学》的作者还用了相当多的篇幅，重点介绍了常微分方程的奇点概念和定性理论的基本思想，这个定性理论在常微分方程的一般理论中占有重要的地位。

四、复变函数论

微积分理论所处理的函数主要是实函数，当我们将微分与积分的理论平行推广到复函数时，就形成了一门崭新的理论——复变函数论，这个新理论与原来的微积分相比，内容不仅更加丰富多彩，而且理论上也更加完美。复变函数论这门课程的内容主要有：解析函数、复积分、复级数、留数、解析开拓、调和函数。

复变函数论曾经被数学史家M.克莱因(M.Kline)称为是19世纪最独特的创造，“这一最丰饶的数学分支，曾被称为这个世纪的数学享受，它也曾被欢呼为抽象科学中最和谐的理论之一。”在19世纪初，柯西在研究计算二重积分的累次积分方法时，无意中发现了复变函数论中著名的柯西积分定理——全纯(解析)函数在单连通区域边界上的复积分为零，由此进一步得到了关于复积分和留数计算等一系列基本结果。

《数学》的第二卷第九章专门介绍了复变函数论这门课程的基本想法。作者在这一章的第1节指出，复数的重要意义首先体现在代数学基本定理中，这个定理说：任何n次复系数代数方程必有n个根，而这个结论对实系数方程就不成立。这说明只有在复数域中考虑问题，才能得到清晰完美的结果。

然后作者进一步从复变函数的角度解释了在数学分析课中讲的：实函数1/(1 x^2)的幂级数展开式的收敛区间为什么是(-1,1)，，这是因为当我们把这个幂级数放到复数域上来考虑时，就发现这个复幂级数的收敛半径等于1，即使得该级数收敛的点都位于以原点为心、半径为1的圆内。而导致这个事实的原因竟然是这个圆的圆周上有两个点 i和-i ，复函数1/(1 x^2)在这两点变为无穷（见图4），

图4

这就从本质上解释清楚了为什么原来的实幂级数展开式的收敛区间为什么是(-1,1)。

接下来作者还用复变函数的幂级数展开式推导出了非常有名的欧拉公式。

作者所举的以上这些很好的例子能够使学生初步认识到：复变函数并不是一种虚无缥缈的东西，而是有着实际意义的真实概念。

《数学》的作者在第九章的第2节，介绍了复变函数论在流体力学和飞机机翼设计中的精彩应用，在第3节介绍了很重要的复变函数与几何共形映射之间的密切联系。作者在第4节中，带领读者进入了复变函数理论的核心部分——复积分与柯西积分公式。虽然复积分是数学分析中线积分定义的简单推广，然而它却成为了证明解析函数良好性质的主要工具。尽管作者没有在该书中详细地证明最基本的柯西积分定理，但还是非常仔细地推导了在复变函数论中反复使用的柯西积分公式，这个推导过程充分显示了复积分的基本性质。最后，作者在第5节进一步介绍了解析开拓和黎曼面的基本概念。

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