复杂微积分公式大全（微积分发展史12:原函数）

知道了“积分和微分是互逆运算”能给我们带来什么呢？答案是：多一种选择。因为既然积分和微分是互逆运算，那么有些操作如果积分不擅长，我就可以把它丢给微分。

什么意思？还是以最开始求曲线围成的面积为例。我们是这样求抛物线y=x²与x轴在0到1之间围成面积的：如果用n个矩形去逼近，每个矩形的底就是1/n，n个矩形的面积之和就是这样：

当n趋向于无穷大的时候，后面两项就等于无穷小，然后结果就只剩下第一项1/3。

用这种方法，面对不同的曲线就得有不同的求和公式，最后还得保证相关项可以变成无穷小丢掉。所以，这种方法的复杂度和局限性都非常大，无法推广。

但是，在伟大的牛顿和莱布尼茨发现了“积分和微分是互逆运算”之后，这一切就改变了。因为我们有另一种选择：积分之路如果不好走，我们可以走微分啊。

怎么走呢？前面讲微分的时候，我们计算过f(x)=x²的导数，最终的结果是这样的：

那么反过来，如果我知道有一个函数是f(x)=2x，难道我就猜不出究竟是哪个函数求导之后变成了f(x)=2x么？当然可以啊，我们完全可以根据f(x)=2x反推出原来的函数是f(x)=x² c。

为什么这里多了一个常数c？因为常数求导的结果都是0，所以就多了这样一个尾巴。

也就是说，f(x)=x²，f(x)=x² 1，f(x)=x² 3等函数的导数都是f(x)=2x，只凭f(x)=2x我们无法确定最开始函数具体是什么样子。但是，我们可以确定它一定就是x²加上一个常数c。于是，我们就把求导之前原来的函数f(x)=x² c称为的f(x)=2x的原函数。

好，下面是关键：积分是函数围成面积的过程，速度v通过积分就得到了位移s，在v-t图像里速度v围成的面积就是位移s；微分是求导的过程，对位移s求一次导数就能够得到速度v。

有了原函数以后，我们也可以根据速度v把（求导之后等于速度v的）位移s给求出来，这时候位移s就是速度v的原函数（无非就是再加一个常数c）。而原函数表示的位移s就是速度v围成的面积，于是，原函数就有了求面积（积分）的效果。

也就是说，s求导一次就变成了v，那么v反向求导一次就可以得到s，这时候s是v的原函数。另一方面，因为s求导一次能变成了v，那么v积分一次也能变成了s（互逆运算）。于是，v通过求原函数和积分都能得到s，所以原函数s其实就有了积分（曲线v围成面积）的效果。

再简单地说，因为积分和微分是一对互逆运算，所以你反向微分（求原函数）的话，自然就“负负得正”，得到和积分一样的效果了。

所以，现在求曲线f(x)=x²和x轴在0到1区间里围成面积这个原本属于积分的事情，现在就可以通过反向微分（求原函数）来实现。

这是一次非常华丽的转变，马上你就会看到这种新方法会把问题简化到什么程度，而且，正是这种力量让数学发生了根本性的改变。