整体思想怎么理解（整体法思想）

提要

我们在思考问题的时候，若能根据题中的结构特点，把问题中貌似独立，但实质上又相互联系的量看成一个整体，从而在宏观上寻求解决问题的途径，这种思想方法就称为整体的思想方法。

知识全解

一．整体法的概念

所谓的整体法，就是研究某些数学问题时，往往不是以问题的某个组成部分为着眼点，而是有意识地放大问题的视角，将要解决的问题看成一个整体，通过研究得到整体形式或整体处理后，达到顺利而又简捷地解决问题的目的。

只有所求的问题含有（或通过变形含有）已知条件中的“整体”才可以使用整体法。

二．整体法的解题策略

利用整体思想，把一些看似彼此独立，实质上紧密相连的量作为整体进行处理，不仅会使问题化繁为简，化难为易，而且有助于培养学生的创造性思维能力，提高分析问题和解决问题的能力。

事实上，有许多数学问题，如果我们纠缠于题目中的“细枝未节”，则解题过程冗繁，还有可能解不出，但若能统观全局，用整体思想方法来处理，则可化繁为简，出奇制胜。

学法指导

类型1 整体代入

例1 若a-2b=3，则9-2a 4b的值为___

【解析】把a-2b=3整体代入9-2a 4b=9-2(a-2b) =9-2×3=3

【点评】解决此类的常规方法是先求出a、b的值，然后代入求值，但将已知式整体代入到变形后的求值式，便十分简捷地求得代数式的值。

类型2 整体换元

【点评】若把已知的两个方程联立为方程组，直接求x,y不易求出，同时要检验解的合理性。

类型3 整体变形

【点评】把变形后的1/2a-3b看作整体

类型4 整体代换

【点评】这里体现了一种整体代换的思想，之所以用A表示第一个多项式主要是为了书写上的方便、运算过程的简洁，还不容易出错

类型5 整体加减

【点评】这里体现的是一种整体合并的思想，当已知出现了两个方程的时候，可以考虑让二者相加减得到要求的形式．

类型6 整体补形

例6 如图所示

已知AD是△ABC的中线，BE交AC于点E,交AD于点F，且 AE=EF，求证：AC=BF

【解析】已知AD是△ABC的中线，可以通过作辅助线将三角形补全为平行四边形。 如图所示，延长AD到H，使DH=AD,连接BH、CH

∵BD =DC，DA =DH

∴四边形ABHC为平行四边形

∵AC=BH，∠BHD=∠CAD.

又∵AE=EF，∴∠EAF=∠EFA

∵∠EFA=∠BFD

∴∠BHD=∠BFH

∴BF=BH

∴BF=AC．

【点评]按照常规思路，要把AC、BF两条线段移动到同一个三角形中，或者移动到两个全等三角形中来证明，但是辅助线不易作，将三角形补全为平行四边形，利用平行四边形的对边平行且相等，可由等量代换来证得AC= BF。

类型7 整体改造

例7 有甲、乙、丙3种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需4. 20元。现在计划购甲、乙、丙各一件，共需多少元？

【解析】设购甲、乙、丙各1件分别需x元、y元、z元

解关于x 3y、x y z的二元一次方程组，可得x y z= 1.05

即购甲、乙、丙各一件共需 1.05元，

【点评】因为要求的未知数有3个，而题设条件中只有两个等量关系，所以要把甲、乙、丙每件的钱数求出来是不可能的，若把甲、乙、丙各一件的钱数看成一个，问体，问题就可解决。由于所关注的不是x，y，z的值，而是x y z整体的值，故解题目标明确，直奔主题即可。需要说明的是，这里用到了整体改造，通过改造使得每个方程中都有x y z这个整体，如果把x 3y、x y z设成其他未知数，那么就是整体换元思想。

类型8 整体合并

例8 已知：实数x、y满足3x-7y=8，9x-5y=-2，则6x 2y=______

【解析】用9x-5y=-2减去3x-7y=8，可得6x 2y=-10

【点评】本题的常规思路是把3x-7y=8，9x-5y= -2联立成二元一次方程组，解得x、y的值，再把x、y的值代入6x 2y得到答案，这样处理虽然也可得到答案，但解题过程要比用整体合并思想繁杂得多

经典例题

例1 利用整体法求值

若实数a、b满足（4a 4b）（4a 4b-2)-8=0，则a b=____

【解析】将（4a 4b）（4a 4b-2）- 8=0中的4a 4b看作个整体，

∴4a 4b-4=0，或4a 4b 2=0

∴a b=1，或a b=-1/2

【点评】本题中只有一个方程，却有两个未知数a、b，一般情况下，欲求出每个未知数是不可能的，因此考虑把所求的代数式a b整体处理

例2 利用整体法解方程组

【解析】由②得：9(x 2y-3z) 43z=63 ④

将①代入④，得9×（-36） 43z=63

∴z=9

由③，得9x-4（x 2y- 3z）=207 ⑤

将①代入⑤，得9x-4×(-36) =207

∴x=7

将x=7，z=9代入①，得7 2y-3×9=-36

∴y=-8

【点评】本题打破了传统的“消元”常规，视'x 2y-3z"为整体，使解方程组变更得轻松简便，这种运用整体思想解方程组的方法，实质上是一种技巧，是对特定的方程组而言的。

例3 利用整体法求阴影面积

如图所示，

分别以n边形的顶点为圆心，以单位为1的半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为___ 个平方单位

【解析】观察图形，阴影部分由n个扇形组成，若分别求出每一个扇形的面积然后求和是很难实现的。因此可整体思考：由于这n个圆的半径都相等，且这n个圆心角度数之和正好是n边形的外角和等于360度进而可解得：

【点评】本题运用整体处理的技巧，使看似困难的问题简捷获解

例4 利用整体法解反比例函数问题

如图所示，

已知双曲线y=k/x(x>0)经过矩形OABC的边AB、BC的中点F、E，且四边形OEBF的面积为2，则k=___

【解析】设B点的坐标为( 2a，2b)，则E点的坐标为(a, 2b)，F点的坐标为（2a，b），所以k=2ab

因为4ab-1/2×2ab×2=2，所以2ab=2，即k=2

【点评】本题若直接计算k的值比较麻烦，采用的方法是首先设出点B的坐标，借助于坐标表示出图形的面积，整体求解．

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