数学导数基本公式笔记(数学笔记-同济第七版高数)
1、什么是隐函数?
能直接表示成y=f(x)这种形式的为隐函数,无法将x表达成y的函数但是又有x和y关系的函数为隐函数,例如:e^(x y)=x^2 y 1这种式子很难将y解出来。
2、如何求导?
如果F(x,y)确定,即x和y的关系确定,那么求dy/dx时,将y看成f(x),y求导后变为dy/dx即可
例1:e^(x y)=x^2 y 1确定y为x的函数,求dy/dx
方程两边对x求导:
d(e^(x y))/dx=d(x^2 y 1)/dx
e^(x y)*(1 dy/dx)=2x dy/dx
(dy/dx)(e^(x y)-1)=2x-e^(x y)
dy/dx=[2x-e^(x y)]/[e^(x y)-1]
例2:x^y=y^x, (x>0,y>0)
ln(x^y)=ln(y^x)
ylnx=xlny
两边对x求导
d(ylnx)/dx=d(xlny)dx
dy/dx*lnx y/x=lny x/y*dy/dx
(dydx)(lnx-x/y)=lny-y/x
dy/dx=[lny-y/x]/[lnx-x/y]
二、参数方程确定的函数求导例3:2^(xy) 3x=y,求y'(0), y''(0)
当x等于0时,y=1
两边对x求导
2^(xy)*ln2*[y xy']=y'(1)
x=0,y=1带入得y'(0)=ln2 3
(1)式继续对x求导
ln2[2^(xy)*ln2(y xy') 2^(xy)*(y' y' y'')]=y''
将x=0,y=0,y'(0)=ln2 3带入得
y''(0)=(3ln2 6)ln2
1、参数方程确定的函数:
类似于x=g(t),y=h(t),来确定y和x之间关系称为由参数方程确定的函数
2、定理
若有参数方程:x=g(t),y=h(t),其中g(t),h(t)可导,切g(t)≠0
则:dy/dx=[dy/dt]/[dx/dt]=h'(x)/g'(x)
证明:
g'(x)=lim(Δt->0)Δx/Δt≠0 => Δx=O(Δt)
dy/dx
=lim(Δx->0)(Δy/Δx)
=lim(Δx->0)[(Δy/Δt)/(Δx/Δt)]
∵ Δx=O(Δt)
∴ dy/dx
=lim(Δt->0)[(Δy/Δt)/(Δx/Δt)]
=[lim(Δt->0)(Δy/Δt)]/[lim(Δt->0)(Δx/Δt)]
=h'(x)/g'(x)
即证!
例4:x=arctant,y=ln(1 t^2),求dy/dx
dy/dx
=(dy/dt)/(dx/dt)
=(2t/(1 t^2))/(1/(1 t^2))
=2t
,
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