如何证明没有最大的素数（素数有无穷多个）

作者：大神团·张通

作者介绍：张通，新东方超尖生计划授课老师，北京大学力学系理论与应用力学专业学士。初中三年均获全国初中数学联赛一等奖，全国初中物理竞赛一等奖，全国初中化学竞赛一等奖，全国高中数学联赛一等奖，全国中学生物理竞赛二等奖，全国高中生物竞赛三等奖。

数论被誉为数学的王冠，而素数（prime）无疑是数论中最重要最富有神秘色彩的一些数。无论是数学王冠上的明珠——哥德巴赫猜想，还是世界七大数学难题之一的黎曼猜想，亦或是其他种种与数论相关的猜想，无一例外地，需要用到素数来证明。

在所有素数定理中，最重要的也是最漂亮的定理就是：如何证明素数有无穷多个。

虽然历史上有很多数学家都给出了自己的证明，但这次，我们只介绍最具有历史意义和借鉴价值的三种证明方法。

下文为了叙述方便又不失一般性，故无特殊说明外，默认所设变量均为正整数，所指概念均为正数，如偶数、奇数、因（约）数均指正偶数、正奇数、正因（约）数。

我们把正整数按因（约）数个数分成三类：

只有一个因数——1；

只有两个因数——质数（也叫素数）；

有三个及以上个因数——合数。

按定义可知，除了2以外的所有偶数都是合数，则显然合数有无穷多个。

然而质数是否有无穷多个，并不显然。

但这个问题并没有困扰人们很久，早在公元前二百多年，古希腊数学家欧几里得（Euclid）就在其著作《几何原本》第九章命题20给出证明，这是记载中第一位对质数有无穷多个给出严谨证明的人。

欧几里得也被喻为“几何之父”，其著作《几何原本》创立了平面几何论证体系，所以原定理是通过几何的形式来论证的，这里我们把它用代数的形式翻译下。

定理的第一个证明——欧几里得提供

这种证法利用了极端性原理，开创了证明无穷性问题的先例。

之后来到十七世纪，一位对数论做出巨大贡献的业余数学爱好者——费马（Fermat）（也被人称为业余数学家之王），提出一种构造无穷质数的方法，后世称为费马数，即

费马发现，该数列前5项均为质数，于是断言该数列均为质数，因为F5太大了，当时也没有人提出异议。

虽然这种构造方式失效了，但费马数的意义没有失去，近一百年后，哥德巴赫Goldbach，没错，就是哥德巴赫猜想的提出者，给出了一种利用费马数性质来证明质数有无穷多个的方法。

定理的第二个证明——哥德巴赫提供

利用费马数两两互质的性质

对于任意非负整数m,n，不妨设m<n

注意到

这就完成了费马数两两互质的证明。

由于有无穷多个费马数，而每一个费马数的质因子各不相同（否则这两个费马数有共同的质因子，就不互质），故存在无穷多个质数。

从上面的例子我们看出，虽然费马用费马数来构造质数的方法“翻车了”，但后人却利用费马数完成了各式各样其他的证明，直到现在，费马数在数论中的价值仍是非凡的。

所以大家不要害怕失败，这次的失败说不定就是下次成功的基石呢。

那么第三种证明就跟我们数学界排行榜第一名的数学家有关了。

对了，就是欧拉（Euler）。作为数学各分支都精通的人来说，数论中关于质数有无穷多个的证明，自然是不会放过。

不过欧拉选择自己最擅长的方法——级数构造来完成证明的。

定理的第三个证明——欧拉提供

这个证明要用到算术基本定理（唯一分解定理），我们先做简单说明

对于任意一个大于1的整数N，一定可以唯一表示成

这个定理的证明是欧几里得最先给出的，我们这里就不证明了。

既然要证明质数的无穷性，那就需要对应一个发散的级数，于是欧拉选择了调和级数。

我们可以利用

来说明调和级数发散，即n趋于无穷大，该求和值也趋于无穷大。

接下来欧拉构造了这样一个左右两边都各有无穷多项的等式

注意到左边每一项均对应右边唯一的一个分解的乘积，当然右边任意一个乘积都能唯一得到左边的某一项，如

这表示左边每一项和右边每一种组合乘积是一一对应，于是左右两边相等。左边是无穷大，右边也必须是无穷大。

因为不同的括号代表不同的质数，所以质数有无穷多个。

这种利用分析手段来证明的想法，给其他数学家提供了新的思路，从而开启了用高等方法证明的大门。

作者介绍：张通，新东方超尖生计划授课老师，北京大学力学系理论与应用力学专业学士。初中三年均获全国初中数学联赛一等奖，全国初中物理竞赛一等奖，全国初中化学竞赛一等奖，全国高中数学联赛一等奖，全国中学生物理竞赛二等奖，全国高中生物竞赛三等奖。新东方智慧学堂（zhihuixuetang_xdf），与精英为伍，成就未来精英。

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