立体几何空间关系图解（对应三种空间形状的三种几何）

​我们视线所及之处的空间似乎在朝着四面八方无限延伸，这不禁让人遐想：宇宙究竟是什么形状的？

目前，对宇宙的形状有三种主要的假设：

1. 宇宙是平坦的，像纸张一样；
2. 宇宙的曲率为正，像球体一样；
3. 宇宙的曲率为负，像马鞍一样。

因此要探讨宇宙的形状，我们必须了解这三种不同的空间几何。

平面几何学

关于平面几何学的故事，我们需要追溯到很久很久以前，当欧几里得首次将我们生活的世界的几何原理公式化的时候。他在著作《几何原本》中提出了5个几何公设：

1. 任意两点可以通过一直线连接；
2. 任意线段都能延伸成一直线；
3. 任意线段可以一个端点为圆心该线段为半径作圆；
4. 所有直角都全等；
5. 若一条直线与两条直线相交，使同侧的两角之和小于两个直角，那么这两条直线无限延伸必定相交。

19世纪，勒让德证明了第5公设等价于“三角形内角之和等于两个直角。”这一公设下的几何也被称为“欧几里得几何”或“平面几何”。在这种几何中，两条平行的直线永远不会相交，三角形的内角和总是180度。与这种几何相对应的是曲率为0的平坦宇宙。

与前4条公设相比，第5条公设更加复杂。欧几里得自己也隐约觉得，第5公设好像不似其他几条那般完美。直到19世纪，数学家才终于找到了一个让第5公设不成立的几何学例子，证明了这个在2000多年的时间里一直被视为正确的公设，的确不完美。

这一发现也直接导致了非欧几里得几何的诞生。而这一发现也惊喜地促成了广义相对论的诞生，彻底地颠覆了我们的宇宙观。在非欧几里得几何空间中，无论宇宙是正向弯曲还是负向弯曲，事物都开始变得奇怪起来。

球面几何学

当宇宙的曲率为正时，两条平行的曲线会向一个单点倾斜，与之对应的是球面几何，在这种几何中，欧几里得的第5公设失效了。

在这种几何中，平面几何中的“直线”变成了一个大圆，也就是由过球心的平面与球面的交线构成的圆。球面上的三角形内角和也不再等于180度，而是稍大于180度。

或许对于球面上的那些非常小的三角形来说，我们很难察觉到这一点。这是因为以一个非常小的三角形的视角来看，球面几乎是平坦的。这也是为何对于生活在地球这样一个球面上的我们来说，却用了如此长的时间才从平面几何思维转换到球面几何。很显然，当讨论的球面上的大三角形时，就能明显察觉其内角大于180度。

双曲几何学

当宇宙的曲率为负时，意味着两条平行的直线会永远发散，与之对应的是双曲线几何。在双曲线几何中，欧几里得的第5公设以和球面几何类似却又恰好反向的理由失效了，不过前4个公设在双曲几何中仍然成立。

与球面几何相比，双曲线几何更难以被可视化。不同于球面几何的向内闭合，双曲几何是向外张开的。一种可被用来展示双曲几何的方法叫做庞加莱半平面模型（Poincaré half-plane model）。这个模型与“真实”的双曲空间之间的关系，有点类似于平面地图与球面世界之间的关系。举个例子，驾驶一架飞机从北京直飞伦敦，那么在平面地图上画出的路线不会是直的，而是弯曲的。

在欧几里得几何中，圆的周长与半径成正比；但在双曲几何中，圆周长与半径成指数关系。如果放大双曲圆盘的边界，就会看到在那里堆积着大量的三角形。在双曲几何中，三角形的内角是小于180度的。以庞加莱圆盘中的三角形为例，其内角和为165度。

宇宙的形状

了解不同几何的性质，对于思考宇宙的大尺度形状至关重要。要了解宇宙的形状，研究人员需要测量宇宙中物质的密度。因为根据爱因斯坦的广义相对论，空间本身是可以被质量弯曲的。因此，通过比较宇宙的临界密度与实际密度，计算出宇宙的空间曲率，从而推断宇宙是“开放的”、“闭合的”，还是“平坦的”。

如果宇宙的实际密度大于临界密度，它就包含足够多的质量来最终阻止膨胀，那么这就是一个闭合的宇宙，有一个球形的形状。如果宇宙的实际密度小于临界密度，就意味着宇宙中没有足够的物质来阻止宇宙的膨胀，宇宙会永远膨胀下去，这就是所谓的开放宇宙，其形状会像马鞍的表面一样弯曲。但如果宇宙恰好包含了足够的质量使膨胀停止，它的实际密度将等于临界密度，这种情况下，宇宙被认为是平坦的。

这些问题的答案都“刻写”在天空中，隐藏在从四面八方朝我们袭来的宇宙微波背景（CMB）辐射里。根据目前的CMB证据表明，平面几何最有可能是正确的：研究人员测得，宇宙的曲率为0，这意味着可观测宇宙基本上是平滑且均匀的，即空间的局部结构在每个点和每个方向上看起来都一样。

尽管如，在更大的尺度上，宇宙仍有可能是弯曲的，只是这超出了我们的感知范围。就像站在大平上的我们可能会觉得地球是平的。而目前我们所知道的，只是可观测的宇宙几乎是平坦的。

研究宇宙的形状其实是在为研究宇宙的起源提供线索，它同时也是我们推测宇宙的最终命运的关键信息。它与宇宙中物质的形状和密度，以及暗能量的强度息息相关，而这一切都将最终决定宇宙是会在大挤压中收缩回去，还是在热寂寞中四散死亡。

参考来源：

https://www.quantamagazine.org/what-shape-is-the-universe-closed-or-flat-20191104/

https://www.nature.com/articles/425566a

https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzA4NDU1MDY5OA==&mid=2653197576&idx=1&sn=b5cc8bbefba31cfea2ccf65c07621c02&chksm=8435404db342c95beb95057241584d41ad03dade4d87afeb28a4a46e0460892ca793f34c87b6&token=1218331702&lang=zh_CN#rd

https://plus.maths.org/content/mathematical-mysteries-strange-geometries

https://www.quantamagazine.org/what-is-the-geometry-of-the-universe-20200316/