函数兔子（从兔子函数到）

本次内容来自系列视频课程

“一说万物：现代物理学百年漫谈”

第六讲：复杂

6.1 从“兔子函数”到“三生万物”

系列课程介绍

20世纪是物理学的世纪。

在过去一百年中，物理学取得了空前的发展，涌现出很多新想法、新观念，其影响超越了物理领域，深刻改变了人们对世界的认识。

在《一说万物：现代物理学百年漫谈》中，来自香港科技大学的王一老师将给大家分享这些既深刻又有趣的新想法、新观念。

每期一个话题、一个概念，讲述精巧、富有启发性。来一起感受思考的乐趣吧！

从“兔子函数”到“三生万物”_腾讯视频

今天我们开始“复杂”的世界。从牛顿开始，科学的发展一直遵循着这样的一个动力：面对纷繁复杂的世界，我们希望将其简化，我们希望找到复杂世界背后的规律。我们希望“化繁为简”，但是理想是丰满的，现实有时是骨感的。

化繁为简，我们希望发现最简单的规律，比如以牛顿力学研究两体运动。但是，如果我们不满足于研究两体运动，而要研究研究三体运动、四体运动，甚至1023体运动，怎么办？在这样的情况下，是不是复杂性又重新出现了？是的，我们从“简”又变成了“繁”。但是，当我们从“简”又变成了“繁”的时候，我们追问：是不是在“繁”里会再有新的“简”出现？即，会不会有一些演生的规律？

演生规律虽然并不是最基本的物理规律，但是可以描述一个很复杂的系统。两体运动可以用简单的牛顿力学来处理，那么1023体运动呢？用牛顿力学肯定是难以处理的，但是我们发现可以使用统计力学，然后再约化到热力学，这样我们就从“繁”又得到了新的“简”。从简到繁，又从繁到简，但是我们的世界并不总是这样幸运。

还有一些过程，其中的繁是真的繁，有一些复杂的结构蕴含其中，至少到现在为止，我们还没有想到任何办法来将其进一步简化。

那么,是不是我们从中找不到任何可以研究的规律了？也不是，我们还可以找到一些和传统的科学规律不一样的规律。

我们从如下函数开始，一个非常简单的二次函数，相信大家都学过。但是，我们还可以玩一些花样——反复迭代！比如，从z = 0开始，我先算出f(0)，然后再算f(f(0))，再算f(f(f(0)))，…… 这样反复的迭代，问：这个函数经过无穷次迭代之后，是趋于一个常数，还是会变得发散？

在Mathematica软件中，我们可以方便的利用一个函数就把上述函数的图像画出来。这叫作Mandebrot集，这个函数叫作Mandebrot函数。在黑色区域里，函数是不发散的，在紫色区域里，函数发散的速度特别快，在边界处，迭代了若干次之后，函数才体现出发散的迹象。

将图像放大，观察紫色和黑色的边界，你会看到非常复杂、非常有趣的结构；再继续放大，这种复杂的结构好似无穷无尽。非常神奇的一件事情，从如此简单的函数竟可以演生出无穷无尽的结构！

我还要补充一点。其中，C必须是一个复数，前面的Mandebrot图像也是复平面上的图像。如果你不喜欢，认为复数太难了，没关系，咱们下面考虑一个实数函数。一个非常简单的二次函数，如下所示。

我们让 x和 R全都是实数，不再是复数了，下面我们用同样的玩法，即计算g(g(g(…g(x)…)))。从x0开始，比如说x0=0.2或者其他你喜欢的值，然后无限次迭代，看能迭代出什么样的结果。

可能你会觉得好无聊，迭代这么多次干什么？在不同的领域里，迭代不同次，你可以做不同的事情。比如，在计算机领域，有函数式编程，用函数的各种各样的迭代，可以编出所有我们想要的计算机程序。

说到函数式编程，有一个笑话。一个美国特工跑到俄罗斯去偷编写国防软件的代码。这个特工最后非常高兴，终于把代码的最后5页偷到了。但俄罗斯国防部用的是函数式编程，美国特工偷到后一看，最后5页全都是反括号。

今天我们不讲函数式编程，我们讲的是一个真实世界的模型——兔子的繁殖模型。想象有一个孤岛，岛上生活着一群兔子。这些第零代的兔子可以生第一代的兔子崽，第一代的兔子崽可以生第二代的兔子崽崽，……

在考虑这样的一个模型的时候，函数会告诉我们什么呢？它告诉我们，有了第n代的兔子数，如何去计算第n 1代的兔子数。比如说，第n代有几万只兔子，我们用xn来表示。然后呢，第n代兔子会繁殖，有一个繁殖率，R就是这样的繁殖率，表示每只兔子可以生的下一代兔子数。如果R大于1，兔子数将指数增长，R小于1，将指数衰减。

指数增长在一个岛上是不可能持续的，岛上有有限的草，有限的空间，有限的资源。指数增长必然会因为食物有限、空间有限等原因被压制下去，那么怎么压制下去呢？我们用了一个最简单的模型，也就是说，用一个负的二次项把指数增长给压制下去。xn的平方就是第n代兔子受到的环境限制。

这就是一个兔子的生态繁殖模型，它拥有一个很神奇的、很摸不着头脑的名字——Logistic Map。直接翻译成中文就是逻辑地图，这就更让人摸不着头脑了。一个好一点的翻译是——单峰映射。但是，如果我们不深入去讲这个函数的话，你恐怕也摸不着头脑。所以，我们姑且就叫它“兔子繁殖函数”，简称“兔崽子函数”。

下面我们看这个兔崽子函数在取不同的R值时，会为我们呈现出什么样的性质？R等于0.5，即第零代的兔子生了一半的第一代的兔子，然后第零代兔子死掉了；第一代的兔子又生了一半数量的第二代的兔子，想象一下，兔子的数目是不是变得越来越少？指数衰减，很快兔子的数目就趋向于0。

R大于1，但是还没有大太多呢，比如R等于2.8，会出现什么样的现象？兔子的数量会趋于一个常数，这个常数就是兔子指数增长的繁殖和环境对兔子的压制所达到的一个平衡状态。这个常数也非常好算：把g(x)等同于x本身，然后把方程解出来。

但是，如果兔子更能生一点呢？如果R等于3.2，函数的性质又不一样了。当繁殖到足够多代之后，它会在两个值之间不断的振荡。

好，如果我们把 R再增大一点，把R增大到3.5，会出现什么现象？你发现兔子数有了更加奇特的性质，它会收敛到几个值。即，兔子的数量在几个不同的值之间往复循环，而不是简单的在两个值之间往复循环。

再大一点，比如R等于3.8呢？这时，你根本找不到循环的规律了。

下面我们仔细的看一看这个兔崽子函数的几个性质。

第一个性质是所谓的混沌。R值很大时，我们发现已经找不到规律了，不仅找不到规律，而且当我们把兔子的初始数目改变一点点，函数后面的行为会非常不一样。黑色实线代表的是初始值0.2万只兔子的情况，红色虚线是初始值0.205万只兔子的情况，只改变了一点点，但是，之后兔子的数目变得非常不同，黑线和红线几乎看不出任何的相关性，这就是混沌现象的性质。

混沌和分叉现象是紧密相关的。看，分叉、分叉、分叉，最后变成了混沌。顺便提一下，这是1976年，Robert May花了好大的精力，最后画出的比较“残缺”的一幅图。现在由于计算机已经发展得非常好了，我们只用几行代码就可以把图给补全。

我们发现，随着我们取不同的R值，最后兔子的个数会在不同的几个值之间往复的改变。这是性质1：混沌。我们一会还会仔细的讲性质1。

性质2是自相似。我们发现，如果考虑整个图的性质和图的一小部分的性质、一小小部分的性质，我们在图里会找出很多和整个图相似的小结构来。这也是复杂性的一个突出的性质。

性质3，这个更玄乎了，叫“三生万物”。什么意思呢？如果在兔崽子函数等所属的很大一类函数中，如果你能找到一个“周期三”，即兔子的最终数量是在三个值之间不断的跳跃的，那你就可以找到所有自然数的周期。我们再看这个兔崽子函数的图，周期三在哪里？在这里，你看，这儿是一个值，这儿是一个值，这儿又是一个值，这就是周期三。

有了这个周期三之后，Sharkovskii-李天岩-Yorke定理告诉我们，可以找到这个函数的所有周期，最后导致混沌现象。这是用一个非常巧妙的数学构造证明出来的，可以叫作“花式数数”。

相信大家都会数数，但是大家会这样数数吗？先数除了1以外的所有奇数，再数这些奇数乘以2，再数这些奇数乘以2的平方，一直到这些奇数乘以2的n次方，最后我们数2的 n次方，一直到4次方、3次方、2次方、1次方和0次方。自然数的这种排列顺序看起来特别奇特，但是如果你仔细想一想的话，会发现它包含了所有的自然数。Sharkovskii-李天岩-Yorke定理告诉我们，这个花式数数的顺序有一个特点，即：在包括兔崽子函数在内的一大类函数里，如果你找到了其中的一个周期的话，你就可以找到在这种数数顺序之中，它后边所有的周期。也就是说，如果你能找到周期三的话，你就可以找到所有自然数的周期。这就是从周期到混沌的奥秘——三生万物。

还有第四个性质，你看，有很多的分叉点。这些分叉点之间遵循着什么样的比例关系？这个比例关系，它里边暗藏着自然界之中的一个基本常数——Feigenbaum常数。

这上边有很多的红色道道，对应着Mandebrot集里的不同节点，它们都对应同一个Feigenbaum常数。而Feigenbaum常数是自然界里的一个基本常数。

导师简介

王一：中国科学技术大学本科，中国科学院理论物理研究所博士。现任香港科技大学副教授，研究领域为理论宇宙学。近期的主要研究兴趣是将物理学中最大的物体和最小的物体联系起来，用早期宇宙的遗迹研究基本粒子物理。其他研究方向还包括早期宇宙模型、暗能量、暗物质、原初黑洞、引力波等。曾获香港大学教育资助委员会青年学者奖、被学生评选为最喜欢的教师。

系列课程内容

第一讲：概述物理学的世纪

1.1 一百年前，我们知道什么？

1.2 更小：从打地鼠到光电效应

1.3 更高：“上帝”的菜单

1.4 更快：什么是相对论？

1.5 从简单的定律到复杂的宇宙

第二讲：现代物理学之光

2.1 什么是现代物理学之光？

2.2 光是粒子还是波动？

2.3 你见过波动着的粒子吗？

2.4 什么是波粒二象性？

第三讲：漫游量子世界

3.1 从聊斋志异到量子隧穿

3.2 不确定性原理：拯救世界的大英雄

3.3 非同寻常的测量

3.4 薛定谔猫死了吗？

第四讲：原子

4.1 世界为什么是由原子组成的？

4.2 花粉颗粒为什么会跳舞？

4.3 从氢原子到万物

第五讲：熵与信息

5.1 大吃一斤，什么增加了？

5.2 时间箭头：谁偷走了你的时间？

5.3 麦克斯韦的妖精教你什么是新闻

第六讲：复杂

6.1 从兔子函数到三生万物

6.2 三体星人为什么算不对飞星？

6.3 海岸线是无穷长的吗？

第七讲：狭义相对论

7.1 钟变慢，尺缩短

7.2 天涯共此时吗？

7.3 时空是一回事吗？

7.4 时光能倒流吗？

第八讲：广义相对论

8.1 等效原理：引力是幻觉吗？

8.2 弯曲空间，引力退散

8.3 黑洞：天上一天，地上一年

第九讲：宇宙

9.1 晚上天会黑，因为宇宙年龄有限

9.2 什么是暗物质和暗能量？

9.3 终极理论之梦

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关于“墨子沙龙”

墨子沙龙是以中国先贤“墨子”命名的大型公益性科普论坛，由中国科学技术大学上海研究院主办，中国科大新创校友基金会、中国科学技术大学教育基金会、浦东新区科学技术协会、中国科学技术协会及浦东新区科技和经济委员会等协办。

墨子是我国古代著名的思想家、科学家，其思想和成就是我国早期科学萌芽的体现，“墨子沙龙”的建立，旨在传承、发扬科学传统，建设崇尚科学的社会氛围，提升公民科学素养，倡导、弘扬科学精神。科普对象为热爱科学、有探索精神和好奇心的普通公众，我们希望能让具有中学及以上学力的公众了解、欣赏到当下全球最尖端的科学进展、科学思想。

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