级数怎么判断敛散性(无穷级数敛散性判定方法)

无穷级数是高数的一个重要部分,这部分内容一般在大一下学期学习,另外马上有专升本的考试了,所以给需要的同学总结总结做题方法。

无穷级数是一个确定的数值,就称级数收敛,若无穷级数无穷大就称级数发散。

首先一些基础的知识点为大家串好,如下:

①P级数:

级数怎么判断敛散性(无穷级数敛散性判定方法)(1)

P级数相当于一类级数的模型,分子上的1相当于n的0次方,也就是说分母上n的最高次与分子上n的最高次之差大于1级数就收敛,小于等于1级数就发散。比如判断下面的无穷级数是否收敛:

级数怎么判断敛散性(无穷级数敛散性判定方法)(2)

直接用上面P级数的模型,因为分母的最高次是4,分子最高次是3,它们之差为4-3=1,所以此级数发散。

②等比级数:

级数怎么判断敛散性(无穷级数敛散性判定方法)(3)

③交错级数:

级数怎么判断敛散性(无穷级数敛散性判定方法)(4)

交错级数收敛条件:

级数怎么判断敛散性(无穷级数敛散性判定方法)(5)

简单记忆就是级数不是递增的,并且一般项当n趋于无穷时等于0,则级数收敛。

④绝对收敛和条件收敛:绝对收敛即

级数怎么判断敛散性(无穷级数敛散性判定方法)(6)

条件收敛即

级数怎么判断敛散性(无穷级数敛散性判定方法)(7)

关于绝对收敛和条件收敛记住两点:

1)若一个级数绝对收敛,其必条件收敛;

2)若一个级数不绝对收敛,不能判断其发散,但是如果用比值法或根值法(见下面)判断出不绝对收敛,则其必发散。

以上级数的敛散性知道后,我们就介绍判断一般级数敛散性的方法,常用的只有以下几种:

①比较法:若两个级数的一般项的比值当n趋于无穷时为一正数,即

级数怎么判断敛散性(无穷级数敛散性判定方法)(8)

式中的l表示一个正数,则这两个级数有相同的敛散性,要么都收敛,要么都发散。

②比值法:级数中,用后一项与前一项的比值的大小判断是否收敛,

级数怎么判断敛散性(无穷级数敛散性判定方法)(9)

③根值法:

级数怎么判断敛散性(无穷级数敛散性判定方法)(10)

比值法是最通用的,感觉无从下手时可以用比值法尝试。比较法需要一些技巧和灵感,构造一个比较好判断敛散性的级数。根值法也用的少。

需要计算或判断的无穷级数为正项级数(所有项都大于0)时,用比值法、比较法和根值法;若级数为一般项级数,用交错级数判断方法和用绝对收敛、条件收敛判断。

级数怎么判断敛散性(无穷级数敛散性判定方法)(11)

由于比值法、比较法和根值法都是用于正项级数,所以计算幂级数的收敛域(此处不讲,有需要的话请留言)时用比值法都要加绝对值符号。

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