一次函数二元一次方程讲解（一元二次方程与二次函数的基础知识点与关联）

首先明确，二次函数与一元二次方程，本质都是一个研究对象：aX² bX c 【a、b、c为常数，a≠0】.

一、二次函数的基础知识点

关于二次函数，教材上涉及到了三种形式：y=aX² bX c，y=a（X-h）² k，y=aX² ；

其实还有一种形式，y=a（X-x1）（X-x2） ，x1、x2为二次函数与X轴交点的横坐标值。

1. y=aX² ，并不具有普遍代表性；它其实是y=aX² bX c【b、c都等于0】，y=a（X-h）² k【h、k都等于0】，y=a（X-x1）（X-x2）【x1、x2都等于0】时的一种特例。
2. y=a（X-h）² k，它适用于知道顶点信息时的方程设立；（h，k）其实就是该二次函数的顶点坐标值。
3. y=a（X-x1）（X-x2），它适用于知道该二次函数与X轴交点坐标值时的方程设立；（x1，0）（x2,0）其实就是该二次函数与X轴的交点坐标。
4. y=aX² bX c，是二次函数的最一般形式，适合用于不知道对称轴信息，也不知道与X轴交点坐标和定点坐标信息时的方程设立。

学霸总结：

=a（X-h）² k、y=a（X-x1）（X-x2）、y=aX² bX c ，本质都是3个未知数，只不过切入点不同而已；它们彼此其实是可以相互转化的。求二次函数方程过程，本质就是求出3个未知数，而求出三个未知数，一定需要3个等式，这3个等式的得出，就需要你根据题意总结出来。

此外，大家要活学活用，有时题意给出的未必是全部对应信息，但也可以用对应的方程形式来设立的。比如只知道顶点坐标的X轴坐标为6，我们同样可以设立成y=a（X-6）² k，这样就成了2个未知数，再需要两个等式就可以求解出a和k了，另两个等式根据题意的其他条件一定可以找出来；再比如，题意只给出了与X轴的交点的一个坐标为（6,0），那么我们也同样可以设立成y=a（X-6）（X-x2）的形式，这样就又成了2个未知数。同学们可以思考下，如果题意告知某二次函数与X轴只有一个交点，坐标为（6,0），我们该如何设立方程呢？

二、一元二次方程的基础知识点

aX² bX c =0，【a、b、c为常数，a≠0】，这是一元二次方程的一般形式。

它其实是二次函数 y=aX² bX c，当y=0时的一种特例。一元二次方程的根x1、x2，其实就是二次函数与X轴交点的两个横坐标值。

建议同学们，自己亲身推演一遍一元二次方程的求根公式，加深理解，增强记忆；更重要的是，让自己知道，忘了也无所谓，分分钟自己就可以推导出来。有了这种从容淡定的心态，也许你反而就忘不了了，对做题也更多了一分自信。

有了求根公式，其实根与系数的关系，一样是自己分分钟就能推算出来的；完全没必要浑身紧张地去死记，有了这种放松的心态，其实在做题使用过程中，自然而然你就会记住的；要求你不能记住，其实反而是更难的事儿。

学霸感悟：

x1 x2 = -b/a ，这是一元二次方程根与系统的关系的其中一个定理；结合我刚才说的【一元二次方程的根x1、x2，其实就是二次函数与X轴交点的两个横坐标值】，大家对二次函数的对称轴为X=-b/2a ,是不是有了更深刻的理解呢？我们可以来推理下。我们设对称轴的横坐标为x0，既然是对称轴，那么x0与x1、x0与x2的距离应该是相等的，于是有 x0-x1 = x2-x0 → 2x0=x1 x2 → 2x0=-b/a → x0=-b/2a ，于是有对称轴为X=-b/2a 。

好了，看到了吧，一元二次方程与二次函数也就这点东西，没什么难的；只要你愿意走进去，一定能学好的！