不定积分sinx除以cosx（不定积分dx）

主要内容：

本题通过三角函数恒等变形和三角函数换元法两种方法，介绍计算定积分∫dx/[√2 sin(x 1) cos(x 1)]的方法和步骤,并可以观察出，同一个不定积分结果的表达式可以不唯一。

※.三角函数恒等变形法

I=∫dx/[√2 sin(x 1) cos(x 1)]，

根据公式sin(x π/4)=sinxcosπ/4 cosxsinπ/4变形为：

I==∫dx/{√2 √2[sin(x 1)cosπ/4 cos(x 1)sinπ/4]}

=∫dx/[√2 √2sin(x 1 π/4)]，以下提取公因数系数，

=(1/√2)∫dx/[1 sin(x 1 π/4)]，以下根据sin^2x cosx^2=1变形为，

=(√2/2)∫dx/[sin(1/2)(x 1 π/4) cos(1/2)(x 1 π/4)]^2,

=(√2/2)∫dx/{√2sin[(1/2)(x 1 π/4) π/4]}^2

=(√2/4)∫dx/sin^2[(1/2)(x 1) 3π/8],以下根据公式cscx=1/sinx变形为，

=(√2/4)∫csc^2[(1/2)(x 1) 3π/8]dx，以下对微分微元dx进行变形，

=(√2/2)∫csc^2[(1/2)(x 1) 3π/8]d[(1/2)(x 1)]，

以下有积分公式∫csc^2xdx=-cotx C变形得，

I =-(√2/2)cot[(1/2)(x 1) 3π/8] C。

※.三角函数换元法

设tan(1/2)(x 1)=t，则x=(2arctant-1)，

同时由三角万能公式有：

sin(x 1)=2t/(1 t^2)，cos(x 1)=(1-t^2)/(1 t^2),

代入所求不定积分，则：

I=∫dx/√2 sin(x 1) cos(x 1)，

=∫d[(2arctant-1)] /√2 2t/(1 t^2) (1-t^2)/(1 t^2)，

=2∫[1/(1 t^2) ]dt /{[√2(1 t^2) 2t (1-t^2)]/ (1 t^2)},

=2∫dt /[√2(1 t^2) 2t (1-t^2)],

以下对分母进行关于t的二次函数变形为，

I =2∫dt /[(√2-1)(t √2 1)^2]

=2 (√2 1)∫dt /(t √2 1)^2，

以下根据不定积分公式∫dx/x^2=-1/x C计算得，

I =-2 (√2 1)[1/(t √2 1)] C,

代入t =tan(1/2)(x 1)，即可计算出本题不定积分结果为，

I =-2 (√2 1){1/[tan(1/2)(x 1) √2 1)]} C.