折纸手工和数学有关（当折纸与数学温暖邂逅）

折纸艺术据传起源于中国的汉朝，应该是在东汉蔡伦发明造纸术后不久。隋朝时经朝鲜传到了日本，又从日本传向西方。

折纸与数学相结合的开始大约可追溯到公元8世纪中期，处于文化鼎盛时期的阿拉伯人独立发展了折纸艺术，他们将欧洲几何学原理运用到折纸中，并且利用折纸来研究几何学。从19世纪开始，折纸在西方成为了数学和科学研究的工具，解决在折纸过程中发现的一些数学之迷已经发展成为现代几何学的一个分支。折纸作为一种人们熟悉的娱乐活动，如果将其运用到数学教学的过程中，相信会获得很好的教学效果。

（一）折纸公理

一张白纸，不剪不裁，却能折出无数变化。尺规作图无法完成的任务，折纸却能解决。为什么它能有如此多变化呢？这还要从折纸对应的几何操作说起了。

1991 年，日裔意大利数学家藤田文章（Humiaki Huzita） 指出了折纸过程中的 6 种基本操作，也叫做折纸几何公理。假定所有折纸操作均在理想的平面上进行，并且所有折痕都是直线，那么这些公理描述了通过折纸可能达成的所有数学操作：

容易看出，它们实际上对应着不同的几何作图操作。例如，操作 1 实际上相当于连接已知两点，操作 2 实际上相当于作出已知两点的连线的垂直平分线，操作 3 则相当于作出已知线段的夹角的角平分线，操作 4 则相当于过已知点作已知线的垂线。真正强大的则是后面两项操作，它们确定出来的折痕要满足一系列复杂的特征，不是尺规作图一两下能作出来的（有时甚至是作不出来的）。正是这两个操作，让折纸几何有别于尺规作图，折纸这门学问从此处开始变得有趣起来。

更有趣的是，操作 5 的解很可能不止一个。在大多数情况下，过一个点有两条能把点 A 折到直线 a 上的折痕。

操作 6 则更猛：把已知两点分别折到对应的已知两线上，最多可以有三个解！

一组限定条件能同时产生三个解，这让操作 6 变得无比灵活，无比强大。利用一些并不太复杂的解析几何分析，我们能得出操作 6 有三种解的根本原因：满足要求的折痕是一个三次方程的解。也就是说，给出两个已知点和两条对应的已知线后，寻找符合要求的折痕的过程，本质上是在解一个三次方程！

后来，这 7 条公理就合称为了藤田－羽鳥公理（Huzita–Hatori 公理），你可以在 维基百科 上读到这个条目。在 2003 年的一篇文章中，世界顶级折纸 艺术家 罗伯特•朗 （Robert J. Lang ）对这些公理进行了一番整理和分析，证明了这 7 条公理已经包含折纸几何中的全部操作了。

（二）折纸三等分角

（三）圆锥曲线的折叠

（1）折一个椭圆

许多的数学思想和对象可以通过折纸来证明或表示。圆锥截线也不例外。这里给出的是怎样用纸折出一个椭圆的方法。

● 由一张圆形的纸开始。

● 在圆的内部选择一个不是圆心的点。在该点的位置打上点号。

● 折叠圆纸片，使圆的周界上有一点落在打点的地方。

● 继续上述的过程，使之绕着圆的周界做下去。

最后，折痕会构成一个椭圆的形状。

（2）折双曲线

这里给出怎样折双曲线的方法：

● 由画在一张纸上的圆开始。

● 在圆的外部选择一个点并在该点的位置上打上点号。

● 折叠纸片使圆的周界上有一点落在打点的地方，就像下图所示的那样。

● 继续上述过程，绕着圆的全部周界折下去。

最后，折痕会构成一个双曲线的形状。

(3) 通过折切线构造抛物线。

在离纸张一边一两英寸的地方，设置抛物线的焦点。如图所示的方法，将纸折20—30次。所形成的一系列折痕，便是抛物线的切线，它们整体地勾画出曲线的轮廊。

数学折纸活动的奥秘在于思考，在于体验，在于创造。用一张小小的纸片，通过折叠活动，探讨其中的数学原理和规律，对学生来说是一件快乐的事，可以体会到学习的愉快、创造的乐趣以及数学的魅力，培养发现问题、分析问题和解决问题的综合能力。我们将在数学纵横交错的折痕间继续探索发现！