关于arctanx的求极限题目(求证一道高中三角题arctan1)
求证一道高中三角题arctan1 arctan2 arctan3=π
证明:
方法1:利用三角学的公式,tan(α β)= (tanα tanβ)/(1-tanαtanβ)可以推导出:
其中tanα=1, tanβ=2, tanγ=3, 带入得出tan(α β γ)=0, 就可得出证明,因为
0<α β γ<2π, 即arctan1 arctan2 arctan3=π
很容易得出结论。
方法2:纯几何法,参见如下图形,
ABCD是个正方形, EF是其中位线, 连接对角线,EC与BD的交点为G,
在三角形ABC中其两条中线EC和BH的交点是形心G,所以BG=2HG, 而HB=HC,
所tan∠HGC=3,
即tanγ=3
图中tanα=1,
tanβ=2
但α β=∠EGH (三角形外角等于两个不相邻的内角之和)
但∠EGH ∠CGH=π(在直线上的相邻两个角互为补角)
所以α β γ=π
方法3:如下图所示构造3-4-5直角三角形,内切圆的半径利用面积相等的方法可以求出为1, 根据圆周角的一半为π可证明出结论。
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