数与代数最重要的内容（数与代数之序数）

一．概念描述

现代数学：序数是在数数的过程中产生的。所谓数数，就是在被数事物的集合与自然数集合（标准集合）之间建立一一对应的关系。如果被数事物是有限集合，就是与自然数集的前面片段（子集合）建立一一对应关系。如果被数事物是无限集合，就是与全体自然数建立一一对应关系。被数事物的位置顺序若为：第0个，第1个，第2个，第3个，…，第n个，则0，1，2，3，…，n就称为序数。数学的发展要求将自然数的一些基本性质抽象为公理化体系。1889年，佩亚诺首先给出公理形式的自然数定义。佩亚诺以后，又有人改述自然数的公理定义，如雅各布森和格列尔特都曾给出过不同的公理形式的自然数定义。

小学数学：在小学数学教材中没有给出序数概念的明确定义。它只是要求学生在具体情境中理解自然数可以表示“几个”和“第几个”两种含义，同时体会“一一对应”的思想。比如“小明住在这栋住宅楼的3层”，这里的3就是序数，表示“第3”的意思。所以说，当自然数被用来表示事物的排列次序时，这样的数就叫作序数。

二．概念解读

自然数有两种属性，一是基数属性，一是序数属性。自然数的基数理论回答了一个集合含“多少个元素”的问题，自然数的序数理论反映了事物记数的顺序性，回答了“第几个”的问题。二者彼此相通，共同反映了离散事物的记数特征。

当自然数表示某个有序集合中每个元素所占的位置，就是记顺序的数：第一、第二、第三……事实上，人们在实践中除了需要弄清事物的多少外，还需要在完全相同的一组事物中建立次序。例如，必须按照某种观点，譬如猎人的身高、年龄和勇敢程度来确定在打猎时，谁应该冲在最前面，谁是第二个、第三个等。对于一个集合，我们依次地数数：1个、2个……到第n个数完了，我们就称这个集合的序数是n。由此可见，序数可以用作一个全的有序排列中元素位置的标记，依次将序数写出来，也是1，2，3，…，n。

20世纪最伟大的数学家之一冯·诺依曼，用集合的语言，特别是集合组成的集合和存在空集这两个约定，简约、清晰、准确地构建了自然数体系。具体步骤如下：

第一个序数是空集Ø （表示0）

第二个序数是以空集为元素的集合{Ø}，即{0} （表示1）

第三个序数是以空集和{ }为元素的集合{Ø，{Ø}}，即{0，1} （表示2）

第四个序数是以前三个序数集合为元素的集合{Ø，{Ø}，{Ø，{Ø}}}，即{0，1，2}（表示3）

......

第n个序教是以前面n-1个序数集合为元素的集合{0，1，2，...，n-1} （表示n）

这种依次构造地产生的自然数，称为序数。2000多年前，老子《道德经》中说“道生一，一生二，二生三，三生万物”，在思想上和序数的构造不谋而合。“道生一”相当于从无序开始有序，即由零到一产生顺序；“一”再添上“一”就得到自然数“二”；“二”再添上“一”就得到自然数“三”；等等。

这样，我们就可以完全用集合的语言以两种方式描述自然数：基数和序数。二者密切相关，构成自然数的两个主要特征。

三．教学建议

(1)初步体会自然数作为序数的含义

在学习过程中，基数与序数几乎是同时发生的。因此，应该让学生同时形成基数与序数的概念。比如刘鹏老师在教学“10以内的数整理复习”一课时，就创设了这样的问题情境（如下图）：

①有( )辆红车（指深色车），有( )辆黄车（指浅色车）。

②两辆黄车之间有( )辆红车。

③从左数，第3辆是( )车。

刘老师请学生分别说一说是怎样想的，对第二问还可以请学生圈一圈是哪几辆红车。这个问题情境旨在让学生在解决具体问题的过程中，理解当自然数用来表示物体的数量时，它就是基数，如前两问；当自然数用来表示物体的次序时，它就是序数，如第三问。

(2)提升序数的教学价值

自然数的意义不仅包括“数量数”，即基数方面；还包括“计数的数”，即序数方面。正如弗赖登塔尔所指出的：对于数学自身的发展而言，“计数的数”（序数）意义更大，“无论是从历史发生的还是从系统的角度看，数的序列都是数学发展的基石”。在小学的低、中阶段，自然数的这两方面（基数与序数）的教学价值非常大，但在教学实践中教师往往忽视了“序数”教学的价值，仅仅停留在“第几”的层面上，缺少对其数学本身意义的挖掘。例如，“计数的数”的理解是“探索规律”教学的基石，可以说，没有“计数的数”就无法探究和表示各种规律。

(3)加强基数与序数概念的对比教学

正因为基数与序数两者间的密切联系，教师更应该在教学中有意识地让学生在正确理解其含义的基础上，加强对比练习。比如，教师可以在课堂上进行如下练习：

①这一排熊猫共有（ ）只。

②请在第8只熊猫下画“★”。

然后，教师可以提问“这里的两个8表示的意思相同吗？”，使学生进一步理解：第一问中的8表示的是一共有8只熊猫，是这排熊猫的总只数；而第二问中的8表示的是这排熊猫中的第8只，只是指第8只那一只熊猫。

四．推荐阅读

(1)《小学数学研究》（张奠宙等，高等教育出版社，2009）

该书第二章主要从自然数概念的产生、意义及特征等角度对自然数进行了论述。

(2)《小学数学课堂的有效教学》(刘加霞，北京师范大学出版社，2008)

该书从自然数概念的本质把握、教学方式及学具使用等多角度对自然数教学进行了较翔实的介绍，对广大教学低年级的教师有一定的指导意义。