轮换对称思想(对称与轮换)
语文中的对称,可使语言简练、文字和谐、视觉亲近、语感合口、结构紧致、意义明达;而数学上的对称,亦有结构完美、形式靓丽、意蕴深厚、指示明媚、解法奇绝、风景独好。
几何图形中的轴对称、中心对称,是我们学习数学中,最先认识的"对称"情形,其实,在代数中,有一种对称,那才是美仑美奂!
这就是对称式一一
像X Y,xy,xy yz zx,a^2 b^2,a^3 b^3 c^3,都是对称式,也是轮换对称式,但a 2b 3c就不是对称式,而x y 3也是对称式。
对于完全平方公式:(a b)^2=a^2 2ab b^2,更是个完美的轮换对称式。
下面,我们通过一个例子,来看一看数学对称式在某些问题中的解法,时值佳节,以管窥豹,以飨数学爱好者。
例,解方程组:
a b=10c, ① ab=-10d, ② c d=10a, ③ cd=-10b。 ④分析:我们看①和③,对于①,如果a换c,b换d后,①就是③;对于③,如果a换c,b换d后,③就为①。
再看②和④,对于②,我们若把a换c,把b换d,②就为④;同样,对于④,若a换c,b换d,④就为②。
这样的①和③,②和④,就如同语文中的对偶,春节中的对联,音韵里的平仄相对,我们可称其为数学对称。
这种数学对称,不仅形式对仗,而且数值相同,这也是解此类问题的一大亮点。
这里,用a换c,用b换d的"换",即为代换,代替之意,也就是具有相等关系。
那么,我们就有a=c,b=d,进而问题可解。
解:对于①和③,同时用a换c,用b换d后,仍为原式①和③,同样,对于②和④亦然。所以原方程组的解中必有a=c,b=d。
由①知,因a=c,故b=10c-a=9c,即b=d=9c;
由②知,因b=d,故有
1)若b=d≠0,则a=-10d/b=-10,即a=c=-10,从而,b=d=9c=-90;
2)若b=d=0,由①知,c=b/9=0,即a=c=0。
所以,原方程组的解有两个,分别为:
(一)a=0,b=0,c=0,d=0;
(二)a=-10,b=-90,c=-10,d=-90。
反馈 看看,用这种对称关系来解这样的方程组,是不是比用韦达定理去解更直观易懂呢?
我是巴山老铁,数学爱好者,希望与你共同学习,欢迎批评指正!图片来自网络
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