浅谈数学中的一题多解(走近数学4)

走近数学(4)—— 数学与智慧之三(充分必要条件),下面我们就来聊聊关于浅谈数学中的一题多解?接下来我们就一起去了解一下吧!

浅谈数学中的一题多解(走近数学4)

浅谈数学中的一题多解

走近数学(4)

—— 数学与智慧之三(充分必要条件)

冯跃峰

本文介绍“充分条件与必要条件”在生活实际中的应用。

寻找使问题结论成立的一个充分条件,是数学处理问题的常见的思维策略。这一策略在处理生活中的相关问题时,常常能收到出奇制胜的效果。

我们举几个例子来说明。

例1、宋徽宗赵佶喜爱书画,创建并主管了世界上最早的皇家画院。他虽为昏君,倒是一位杰出书画家。他开设画学,亲自授课,建立考试制度,亲自出题批卷,培养绘画人才,开创了一代画风。当时画院的考试标准是:笔意俱全。

有一次考试,他出的一个题目是“深山藏古寺”。

在众多的应试者中,有的在山腰间画座古庙,有的把古庙画在丛林深处,有的只画山而无寺,有的则只画了寺庙的一角。他看了很多幅,都不满意。

就在他感到失望的时候,有一幅画深深地吸引了他,这幅画别出心裁,画了一个小和尚,挑着一担水沿着弯弯的山道拾级而上。

这幅画作得到宋徽宗的连连称赞:“好,好,这才是‘魁选’之作呀!”

后人对这幅画作也极力推崇与赞赏,认为它构思奇特,画中没有庙,只有一个挑水的和尚,就把“深山藏古寺”这个题目表现得淋漓尽致。画家过人之处,未见得是绘画技术,而是他精巧的构思,能启发别人的联想。

然而,从数学的角度看,他的这一构思其实也是很简单的:他采用的技巧,不过是将所画内容,更换为“藏古寺”的一个充分条件。

因为由“挑水上山的和尚”,必然推出山中的寺庙。正因为寺庙是由和尚“推理”出来的,从而巧妙地实现了“藏”的效果。

下一个例子,与之有异曲同工之妙。

例2、试以“风”为题写一首诗。

下面是唐朝诗人李峤写的诗《风》。

解落三秋叶,能开二月花。过江千尺浪,入竹万竿斜。

这首诗获得大家的一致好评。全诗仅仅20字,且通篇没有一个风字,却把将风的形象与力量完美地呈现在我们面前。

四句诗描写的都是“风”的功能。具体地说,前两句描写了季节的更换:风扫落叶,预示着万物开始凋零;风开百花,预示万物复苏,春色满园。

后两句展现的则是风的形象与力度:狂卷千尺浪,猛推万竿斜,可见风有多大的威力!

然而,从数学的角度看,他的这一立意其实也是很简单的:他采用的技巧,不过是将所描写内容,更换为起“风”的若干个必要条件。

因为有风,就可以吹落秋叶;因为有风,就可以摧开春花;因为有风,就可以卷起江浪;因为有风,就可以推竹倾斜。这些现象,都是“风”的必要条件,多个必要条件凑在一起,就形成了“风”的景象。

无独有偶,还有一首诗,采用的是同样的手法,其诗如下:

忽听门外竹声摇,杨柳江边摆尾梢,东园叶落西园地,楼花扯起万丈高。

姑且不论这首诗的意境如何,其手法与上一首完全一致,也是描写 “风”的一些必要条件。

由以上两例可以看出,当我们不想或不方便直接描述某些对象或现象时,可将其用“充分条件”或“必要条件”来代替,常常能产生独特的效果。

例3、从前,古印度有一位皇帝很自负,有一次他郑重其事向天下臣民昭告:如果有臣民能讲一个故事他没听过的,他就会将自己的女儿嫁给他。此话一出,引得全国男人蜂拥而至,尤其是朝内贵族公子每天都准备好了精彩故事献给皇帝,每一次别人讲完故事皇帝都说听过了,讲故事的人自然也就娶不到皇帝的女儿。但因为可以见到皇帝,人们还是乐此不疲,皇帝也玩得很高兴。

有一天,来了一位很聪明的农民,他讲了一个故事,皇帝不得不说“没听过”,老老实实地把女儿嫁给了他。

你知道那位农民讲了一个怎样的故事吗?

在介绍答案之前,我们来分析一下问题。

我们的目标是:讲一个故事,使皇帝不得不说“没听过”。

这相当于故事中含有一个充分条件,在这个条件下,可推出皇帝的回答只能是“没听过”。

从反面思考,这也就是说,若皇帝的回答“听过”,则对皇帝更为不利。这也就意味着,皇帝回答“听过”时蕴含了比嫁女儿更吃亏的事。

这样,只需一个事件,使皇帝“人财两空”。于是,可在故事中构造这样一个“陷阱”,让皇帝既要嫁女儿,又要付出钱财。比如,虚构一个人说过:让皇帝把女儿嫁给他,并付给他金币。

当然,故事中光有这一情节是不够的,因为皇帝不一定“听那个人的话”。现在,再找一个充分条件,让皇帝必须听那个人的话。这只需“那个人的话”是先皇留下的“遗嘱”即可。再注意到皇帝父亲可能还健在,于是可构造虚拟的遗嘱是皇帝爷爷留下的。

这样,皇帝如果回答说“听过”,那他就必须执行爷爷的遗嘱,皇帝当然不会这么做了。

于是,那个农民讲了这样一个故事——

他跟皇帝说:“我说一个真实的故事给陛下您听,不知您有没有听过?”

皇帝很好奇,马上叫他说。这位农民说:“陛下,从前你爷爷和我爷爷是非常要好的朋友,他们一起玩耍,一起做生意,那时我爷爷很有钱,你爷爷因为做生意向我爷爷借了100块金币,他向我爷爷许诺,发达之后,要您将金币还给我并将你女儿嫁给我。陛下,这个故事您有没有听过啊?”

皇帝听后,一下哑口无言,只好乖乖的将女儿嫁给他。因为皇帝如果说听过,按照他爷爷的许诺,不但要还金币而且要嫁女儿,所以只能说没听过,也就把女儿嫁给了他。

其实,虚构的故事有很多可能,只要虚构一个皇帝决不允许发生的遗嘱即可。皇帝最不愿发生的事情当然是别人篡夺皇位,据此,我们草拟了另外一个“故事”如下:

我爷爷曾救过您爷爷的命,为了感恩,您爷爷承诺:如果我有机会与您面对面交谈,那么,您应当将皇位让给我。陛下,这个故事您有没有听过啊?

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