初中几何证明专题解析（精讲细解四类几何图形猜想与证明的探究问题）

类型1 一般的猜想探究题

一般几何题的猜想与证明近几年在中考中间断性出现,以学生探究为主线,置身于数学问题的发现与解决中,一般在最后3题中一题，以综合与实践的形式出现,考查学生分析问题、解决问题的能力.常综合平行线、等腰三角形(等边三角形)、直角三角形、平行四边形、矩形、正方形等知识为一体,借助逻辑推理一步一步证明,建立方程模型思想,如常见的通过勾股定理、相似三角形对应边成比例、解直角三角形、面积法、平行线分线段成比例定理等得出关于未知数的方程,从而求解.

例1．（2018山西） 综合与实践

问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AB延长线上一点，且BE=AB，连接DE，交BC于点M，以DE为一边在DE的左下方作正方形DEFG，连接AM，试判断线段AM与DE的位置关系。

探究展示：勤奋小组发现，AM垂直平分DE，并展示了如下的证明方法：

证明：∵ BE=AB， ∴ AE=2AB.

∵ AD=2AB，∴ AD=AE

∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AD∥BC

∴ EM/DM=EB/AB . (依据1)

∵ BE=AB，∴EM/DM=1. ∴EM=DM

即AM是△ADE的DE边上的中线，

又∵ AD=AE，∴ AM⊥DE . (依据2)

∴ AM垂直平分DE.

反思交流:

（1） ①上述证明过程中的"依据1""依据2"分别是指什么?

②试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上，请直接回答，不必证明；

（2） 创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接CE，以CE为一边在CE的左下方作正方形CEFG，发现点G在线段BC的垂直平分线上，请你给出证明；

探索发现：

（3） 如图3，连接CE，以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG，可以发现点C，点B都在线段AE的垂直平分线上，除此之外，请观察矩形ABCD和正方形GEFG的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上，请写出一个你发现的结论，并加以证明。

【思路分析】本题考查了矩形及垂直平分线的性质，解题的关键是作辅助线构造全等三角形进行解答．（1）依据1是由平行得到比例的关系；依据2是等腰三角形的性质，由中线得到垂直；（2）过点G作GH⊥BC于点H，利用AAS证明△GHC≌△CBE，则CH＝BE，结合已知条件AD=2AB, BE=AB，结论可证；（3）与（2）的证明方法相似，过点F作FM⊥BC于点M，过点E作EN⊥FM于点N，可证△ENF≌△EBC，结合已知条件，结论可证.

【解答过程】（1）①依据1：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例(或平行线分线段成比例)。

依据2：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高互相重合(或等腰三角形的"三线合一")

（2）证明：过点G作GH⊥BC于点H，

∵ 四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上，

∴ ∠CBE=∠ABC=∠GHC=90° .∴ ∠BCE ∠BEC=90°

∵ 四边形CEFG为正方形,∴ CG=CE，∠GCE=90°.

∴ ∠GCB ∠BCE=90°. ∴ ∠BEC=∠GCB.

∴ △GHC≌△CBE. ∴ HC=BE.

∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AD=BC

∵ AD=2AB, BE=AB，∴ BC=2BE=2HC.

∴ HC= BH，∴ GH垂直平分BC.

∴ 点G在BC的垂直平分线上

（3）答：点F在BC边的垂直平分线上（或点F在AD边的垂直平分线上）.

证明：过点F作FM⊥BC于点M，过点E作EN⊥FM于点N

∴ ∠BMN=∠ENM=∠ENF=90°.

∵ 四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线

∴ ∠CBE=∠ABC=90°，∴ 四边形BENM为矩形

∴ BM=EN, ∠BEN=90°，∴ ∠1 ∠2=90°

∵ 四边形CEFG为正方形，∴ EF=EC，∠CEF=90°

∴ ∠2 ∠3=90°，∴ ∠1=∠3

∵ ∠CBE=∠ENF=90°，∴ △ENF≌△EBC.

∴ NE=BE.∴ BM=BE.

∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AD=BC

∵ AD=2AB，AB=BE，∴ BC=2BM，∴ BM=MC

∴ FM垂直平分BC，∴ 点F在BC边的垂直平分线上.

【一题多解】（3）方法二：过F作FN⊥BE交BE的延长线于点N，连接FB，FC.

∵四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上.

∴∠CBE=∠ABC=∠N=90°. ∴∠BEC ∠BCE=90°.

∵四边形CEFG为正方形，∴EC=EF，∠CEF=90°.

∴∠BEC ∠FEN=90°.∴∠FEN=∠BCE.∴△ENF≌△CBE.

∴NF=BE，NE=BC.

∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC.

∵AD=2AB，BE=AB.∴设BE=a，则BC=EN=2a，NF=a.

∴BF=CF.∴点F在BC边的垂直平分线上.

方法规律：在复习一般几何题的猜想探究题目时,要注意证明推理和方程模型计算的综合,要对条件进行合理猜想与推理,结合自己的解题经验及对题目的把握灵活处理.复习时注意以下几点:

1、注意总结考查知识的面与点,了解此类题目的特点;

2、针对此类问题的练习要注意总结知识间的联系,提升思维的开放性;3、针对自己在做题中遇到的问题进行相应的总结与练习,不断提升分析问题、解决问题的能力.

类型2 图形平移型

图形平移的探究题近几年在中考中间断性出现,主要以探究为主线,令学生置身于数学问题的发现与解决中, 一般在最后3题中一题，以综合与实践、23题结合函数以压轴题的形式出现,考查学生分析问题和解决问题的能力.常综合平行线、等腰三角形(等边三角形)、直角三角形、平行四边形、矩形、正方形等知识为一体,借助逻辑推理一步一步证明,建立方程模型思想,如常见的通过勾股定理、相似三角形对应边成比例、解直角三角形、面积法、平行线分线段成比例定理等得出关于未知数的方程,从而求解.

例2.(2018·贵港)已知:A、B两点在直线l的同一侧,线段AO,BM均是直线l的垂线段,且BM在AO的右边,AO=2BM,将BM沿直线l向右平移,在平移过程中,始终保持∠ABP=90°,BP边与直线l相交于点P.

(1)当P与O重合时(如图2所示),设点C是AO的中点,连接BC.求证:四边形OCBM是正方形;

(2)请利用如图1所示的情形,求证:AB/PB=OM/BM ;

(3)若AO=2√6 ,且MO=2PO,请直接写出AB和PB的长.

【思路分析】(1)先证明四边形OCBM是平行四边形,再由∠BMO=90°,得出▱OCBM是矩形,最后根据直角三角形斜边上的中线的性质即可证明四边形OCBM是正方形.

(2)连接AP、OB,由于∠ABP=∠AOP=90°,所以A、B、O、P四点共圆,从而利用圆周角定理可证明∠APB=∠OBM,所以△APB∽△OBM,利用相似三角形的性质即可求出答案.

(3)由于点P的位置不确定,故需要分情况进行讨论,共两种情况,第一种情况是点P在O的左侧时,第二种情况是点P在O的右侧时,然后利用四点共圆、相似三角形的判定与性质、勾股定理即可求出答案.

【解答过程】　(1)∵2BM=AO,2CO=AO,∴BM=CO,

∵AO∥BM,∴四边形OCBM是平行四边形,

∵∠BMO=90°,∴▱OCBM是矩形,

∵∠ABP=90°,C是AO的中点,

∴OC=BC,∴矩形OCBM是正方形.

(2)如图,连接AP、OB,

∵∠ABP=∠AOP=90°,∴A、B、O、P四点共圆,

由圆周角定理可知∠APB=∠AOB,

∵AO∥BM,∴∠AOB=∠OBM,∴∠APB=∠OBM,

∴△APB∽△OBM,∴AB/PB=OM/BM

(3)当点P在O的左侧时,如图所示,过点B作BD⊥AO于点D,

易证△PEO∽△BED,∴PO/BD=OE/DE,易证：四边形DBMO是矩形，

∴BD＝MO，OD＝BM,∴MO＝2PO＝BD，∴OE/DE=1/2，

∵AO＝2BM＝2√6，∴BM＝√6，∴OE＝√6/3，DE＝2√6/3，

易证△ADB∽△ABE，∴AB²＝AD•AE，

∵AD＝DO＝BM＝√6，∴AE＝AD DE＝5√6/3,∴AB＝√10，

由勾股定理可知：BE＝2√15/3，易证：△PEO∽△PBM，

∴BE/FB=OM/PM=2/3，∴PB＝√15,

当点P在O的右侧时，如图所示，

过点B作BD⊥OA于点D，

∵MO＝2PO，∴点P是OM的中点，

设PM＝x，BD＝2x，

∵∠AOM＝∠ABP＝90°，∴A、O、P、B四点共圆，

∴四边形AOPB是圆内接四边形，∴∠BPM＝∠A，∴△ABD∽△PBM，

∴AD/BD=PM/BM，

又易证四边形ODBM是矩形，AO＝2BM，

∴AD＝BM＝√6，∴√6/2x=x/6，解得：x＝√3，∴BD＝2x＝2√3,

由勾股定理可知：AB＝3√2，PB＝3，

综上所述，AB＝√10，PB＝√15或AB＝3√2，PB＝3.

方法规律：平移不改变图形的大小和形状,对应线段相等,对应角相等.综合复习时要注意证明推理和方程模型计算的综合,要对条件进行合理猜想与推理,结合自己的解题经验及对题目的把握灵活处理.复习时注意以下几点:1、注意总结考查知识的面与点,了解此类题目的特点;2、针对此类问题的练习要注意总结知识间的联系,提升思维的开放性;3、针对自己在做题中遇到的问题进行相应的总结与练习,不断提升分析问题和解决问题的能力.

类型3 图形旋转型

图形的旋转型探究题近几年在中考中间断性出现,主要以探究为主线,令学生置身于数学的问题发现与解决中, 一般在最后3题中一题，以综合与实践、结合函数以压轴题的形式出现,考查学生分析问题和解决问题的能力.常综合平行线、等腰三角形(等边三角形)、直角三角形、平行四边形、矩形、正方形等知识为一体,借助逻辑推理一步一步证明,建立方程模型思想,如常见的通过勾股定理、相似三角形对应边成比例、解直角三角形、面积法、平行线分线段成比例定理等得出关于未知数的方程,从而求解.

例3．（2018山东烟台中考题）

【问题解决】

一节数学课上，老师提出了一个这样问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，PA＝1，PB＝2，PC＝3，你能求出∠APB的度数吗？

小明他通过观察、分析、思考，形成了如下思路：

思路一：将△PBC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；

思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP′B，连接PP′，求出∠APB的度数．

请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．

【类比探究】

如图2，若点P是正方形ABCD外一点，PA＝3，PB＝1，PC＝√11，求∠APB的度数．

【思路分析】（1）如图（1）将△PBC绕点B逆时针旋转90°得到△BP′A，连接PP′，得到等腰直角三角形△BP′P，从而得到PP′＝2√2，∠BPP′＝45°，又AP′＝CP＝3，AP＝1，

∴AP² P′P²=1 8=9= P′A²,∴根据勾股定理逆定理得∠APP′＝90°，从而求出∠APB＝45°＋90°＝135°；（2）如图（2）将△PBC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，方法和（1）类似，求出∠APB＝45°．

【解答过程】（1）如图（1）将△PBC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，

∵PB＝P′B＝2，∠P′BP＝90°，

∴PP′＝2√2，∠BPP′＝45°．

又AP′＝CP＝3，AP＝1，

∴AP² P′P²=1 8=9= P′A²，

∴∠APP′＝90°，∴∠APB＝45°＋90°＝135°．

（2）如图（2）将△PBC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，

∵PB＝P′B＝1，∠P′BP＝90°，

∴PP′＝√2，∠BPP′＝45°．

又AP′＝CP＝√11，AP＝3，

∴AP² P′P²=9 2=11= P′A²，

∴∠APP′＝90°，∴∠APB＝90°－45°＝45°．

方法规律：旋转不改变图形的大小和形状,对应线段相等,对应角相等;对应点的连线与旋转中心的夹角叫旋转角.综合复习时要注意证明推理和方程模型计算的综合,要对条件进行合理猜想与推理,结合自己的解题经验及对题目的把握灵活处理.

阅读材料问题往往会提供一些解题方法或给出解题暗示，要求在理解的基础上再进行问题的解答，或在阅读材料中提供一些操作方法，要求同学们去模拟并探究，或提供一个解题过程，这种题不仅考查了同学们的阅读能力，而且还综合考查了同学们的创新意识及转化能力.

类型4 图形折叠型

图形的折叠探究题近几年在中考中间断性出现,主要以操作探究为主,令学生置身于数学的问题发现与解决中, 一般在最后3题中一题，以综合与实践出现,考查学生分析问题和解决问题的能力.常综合平行线、等腰三角形(等边三角形)、直角三角形、平行四边形、矩形、正方形等知识为一体,借助逻辑推理一步一步证明,建立方程模型思想,如常见的通过勾股定理、相似三角形对应边成比例、解直角三角形、面积法、平行线分线段成比例定理等得出关于未知数的方程,从而求解.

例4．（2018云南昆明中考题）如图1，在矩形ABCD中，P为CD边上一点（DP＜CP），∠APB＝90°，将△ADP沿AP翻折得到△AD＇P， P D＇的延长线交AB边于点M，过点B作BN∥MP交DC于点N．

（1）求证：AD²＝DP·PC；

（2）判断四边形PMBN的形状，并说明理由；

（3）如图2，连接AC，分别交PM，PB于点E，F．若DP/AD=1/2，求EF/AE的值．

【思路分析】本题考查相似三角形的综合问题，涉及相似三角形的性质与判定，菱形的判定，直角三角形斜边上的中线的性质等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．

（1）根据四边形ABCD是矩形，可证得AD＝BC，然后证明∠DAP＝∠BPC，即可证得△ADP∽△PCB；（2）先证明四边形PMBN是平行四边形，然后由△ADP沿AP翻折得到△AD＇P，可证得∠APM＝∠PAM，再根据∠APB＝90°，可证明∠PBA＝∠BPM，即可得证；（3）设DP＝a，可根据DP/AD=1/2，AD²＝DP·PC，求得PC＝4 a，AB＝5a，PM＝BM＝5a/2，然后证明△CFP∽△AFB，求得CF/AC的值，再证明△AEM∽△CEP，求出EF/AC的值，从而求出EF/AE的值．

【解答过程】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠D＝∠BCD＝90°，又∵∠APB＝90°，∴∠DAP＋∠APD＝90°，∠APD＋∠BPC＝90°，∴∠DAP＝∠BPC，又∵∠D＝∠BCP＝90°，∴△ADP∽△PCB，∴AD/PC=DP/CB，又∵AD＝BC，∴AD/PC=DP/AD，AD²＝DP·PC；

（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，即PN∥BM，又∵BN∥MP，∴四边形PMBN是平行四边形，∵△ADP沿AP翻折得到△AD＇P，∴∠APD＝∠AP D＇，又∵AB∥DC，∴∠APD＝∠APM＝∠PAM，又∵∠APB＝90°，∴∠APM＋∠PBA＝90°，∠APM＋∠BPM＝90°，∴∠PBA＝∠BPM，∴PM＝BM，∴平行四边形PMBN是菱形；

（3）设DP＝a，∵DP/AD=1/2，∴AD＝2DP＝2 a，又∵AD²＝DP·PC，∴（2 a）²＝a·PC，解得PC＝4 a，∴AB＝CD＝DP＋PC＝5a，又∵PM＝BM，∴PM＝BM＝5a/2，∵AB∥DC，∴∠CPF＝∠ABF，又∵∠PFC＝∠BFA，∴△CFP∽△AFB，∴CF/AF=CP/AB=4a/5a=4/5，∴CF/AC=5/(5 4)=5/9，∵AB∥DC，∴∠CPE＝∠AME，又∵∠PEC＝∠MEA，∴△AEM∽△CEP，

【易错点睛】此类问题容易出错的地方是第2问看图形只能得到平行四边形，没有进一步思考，第3问用2次相似，不太容易想到

【方法规律】（1）从要证明的式子AD2＝DP·PC来看，很容易想到相似；（2）从题中条件可以先证明平行四边形，再有直角的条件，就可以证明角平分线，不难证明菱形（3）设DP＝a，再想办法把其他能用参数a表示的边都表示出来，把要求的线段的比表示出来。

折叠前后,图形的大小和形状不变,对应线段相等,对应角相等.综合复习时要注意证明推理和方程模型计算的综合,要对条件进行合理猜想与推理,结合自己的解题经验及对题目的把握灵活处理.

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