高斯是如何画出正17边形（真相是高斯并没有用尺规做出正十七边形）

约翰·卡尔·弗里德里希·高斯

19岁的高斯尺规做出正十七边形的传说：

1796年的一天，德国哥廷根大学，一个很有数学天赋的19岁青年吃完晚饭，开始做导师单独布置给他的每天例行的三道数学题。 前两道题在两个小时内就顺利完成了。第三道题写在另一张小纸条上：要求只用圆规和一把没有刻度的直尺，画出一个正17边形。

他感到非常吃力。时间一分一秒的过去了，第三道题竟毫无进展。这位青年绞尽脑汁，但他发现，自己学过的所有数学知识似乎对解开这道题都没有任何帮助。

困难反而激起了他的斗志：我一定要把它做出来！他拿起圆规和直尺，他一边思索一边在纸上画着，尝试着用一些超常规的思路去寻求答案。 当窗口露出曙光时，青年长舒了一口气，他终于完成了这道难题。

正十七边形

见到导师时，青年有些内疚和自责。他对导师说：“您给我布置的第三道题，我竟然做了整整一个通宵，我辜负了您对我的栽培……” 导师接过学生的作业一看，当即惊呆了。他用颤抖的声音对青年说：“这是你自己做出来的吗？”青年有些疑惑地看着导师，回答道：“是我做的。但是，我花了整整一个通宵。”

导师请他坐下，取出圆规和直尺，在书桌上铺开纸，让他当着自己的面再做出一个正17边形。 青年很快做出了一上正17边形。导师激动地对他说：“你知不知道？你解开了一桩有两千多年历史的数学悬案！阿基米德没有解决，牛顿也没有解决，你竟然一个晚上就解出来了。你是一个真正的天才！”

原来，导师也一直想解开这道难题。那天，他是因为失误，才将写有这道题目的纸条交给了学生。 每当这位青年回忆起这一幕时，总是说：“如果有人告诉我，这是一道有两千多年历史的数学难题，我可能永远也没有信心将它解出来。” 这位青年就是数学王子高斯。

1828年高斯肖像

高斯当年并没有去画正十七边形 而是证明了哪些正多边形可以尺规作图

尺规作图的过程全部蕴含在代数式里了。

正十七边形的代数表示形式

首先随便画一条直线，这条直线的作用是记录，记录你作出过的所有长度。

圆规能够量取已经存在(已经做出线段)的所有长度，在哪量不是量，这条直线不管怎么样都是隐式存在的。

引理:记录器

记录器

引理:除法器

虽然N等分点相当于除以个整数,但是要获得更强大的除法计算能力就要构建除法器了。

除法器

引理:开根器

虽然勾股定理能开根，但是勾股定理有个局限性就是要求两条线段直角，对于单一的线段就只能使用开根器了。

开根器

反复使用记录器,加法器,除法器,开根器就能计算出一条长度正好为：

然后找出圆心角和所对弦的关系:

圆心角和所对弦的关系

所以

所对的圆心角就是

于是只要这么一个圆一个圆的接下去就能得到正17边形的所有点了，连起来即得正17边形。

组装过程显然有很多种，有往外组装，有向内组装，最终组装完的轨迹图形:

组装完的样子

组装动图展示：

组装过程

根据Duane W. DeTemple与Carlyle园 描述

使用直尺和圆规作十七边形的另一种方法如下：

另一种尺规作图

当年19年的高斯不会简简单单用尺规画出正十七边形，而是证明了更加深入本质的理论

由此可以得出最终的本质理论：多边形尺规作图问题等价于

是否能用二次根式表达。

小结：1801年数学家高斯证明：如果费马数k为质数，那么就可以用直尺和圆规将圆周k等分。但是高斯本人并没有用尺规做出正十七边形，事实上，完成证明之后正十七边形的做法对数学研究者是显而易见的。第一个真正的正十七边形尺规作图法是在1825年由约翰尼斯·厄钦格（Johannes Erchinger）给出的。

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