指数对数的判断方法（关于指数和对数的证明问题）

1.已知a^x•b^y•c^z=a^y•b^z•c^x=，下面我们就来聊聊关于指数对数的判断方法?接下来我们就一起去了解一下吧!

指数对数的判断方法

1.已知a^x•b^y•c^z=a^y•b^z•c^x=

a^z•b^x•c^y=1(a,b,c>1),求证：

x y z=0

证明：根据指数与对数的计算特点，先对已知的式子两边同时取对数，使指数上不含有字母。记

lga=A,lgb=B,lgc=C.又因为a,b,c>1,所以

A,B,C>0.由题意设有：

lg(a^x•b^y•c^z)=lg(a^y•b^z•c^x)

=lg(a^z•b^x•c^y)=0,

即 Ax By Cz=0,

Bx Cy Az=0,

Cx Ay Bz=0.

将上面的三个式子相加，可得：

（A B C)(x y z)=0

因为A B C>0,所以x y z=0.

2.对于正整数a,b,c(a<=b<=c)和实数x,y,z,w,若a^x=b^y=c^z=70^w,

1/x 1/y 1/z=1/w.

求证：a b=c.

证明：由a^x=b^y=c^z=70^w,可得：

a^(1/w)=70^(1/x), b^(1/w)=70^(1/y),

c^(1/w)=70^(1/z).

所以，(abc)^(1/w)=70^(1/x 1/y 1/z),

abc=70.

因为x,y,z,w均不等于0,可从a^x=b^y=c^z

=70^w不等于1知道a,b,c均不为1，又因70=2×5×7，而2，5，7为质数，所以70=

2×5×7是分解因数的唯一方法。由于abc

=70,a<=b<=c,所以：a=2,b=5,c=7,

故此a b=c.

3.已知A=6lgp lgq,其中p,q为质数，且满足q-p=29,求证：3<A<4.

证明：从p,q为质数且满足q-p=29,可得知：p与q必是为一奇一偶，不可能是两个都是奇数，而既是偶数又是质数的数只有2，故此p=2,那么q=31.

A=6lgp lgq=6lg2 lg31=lg(2^6×31)

=lg1984.

因为1000<1984<10000,所以

lg1000<lg1984<lg10000,

即3<A<4.

4.证明：[(✓65)-8]^100的小数表示式中第一个有效数字前至少有121个零(lg2=0.3010).

证明：因为0<(✓65)-8=1/(✓65)-8<1/(8 8)=1/16,

所以：0<[(✓65)-8]^100<16^(-100).

lg[(✓65)-8]^100<lg16^(-100)=-100×

4lg2.

=-400×0.3010=-120.4

因此，[(✓65)-8]^100的小数表示式中第一个有效数字前面至少有121个零。

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