历代数学家的故事（高山流水识知音）

在讲对数的两位创始人——英国的两位数学家纳白尔和布里格斯的故事以前，我们要从斯提非讲起。

斯提非（1487—1567）是德国厄斯林根地方的牧师，后来又在著名的哥尼斯堡大学里担任神学和数学的讲师。1544年他写了一本书，名叫《整数的算术》。在这本书中，斯提非写道：“关于整数的这些奇妙性质，可以写成整本整本的书……”斯提非发现了整数的什么性质，使他这样惊喜万分呢？

他写出两个数列，左边一个是等比数列（叫做“原数”)，右边一个是等差数列（叫做原数的“代表人物”）：

斯提非发现，计算16×128有一个极为巧妙的方法：16的 “代表人物”是4，128的“代表人物”是7，4与7相加得11。而16×128的积是2048，恰好是11（代表人物）对应的原数。除法也是一样，2048的“代表人物”是11，256的“代表人物”是8，11－8=3，所以2048÷256=8，正是“代表人物”3所对应的原数。这样，左边数目的乘除法，变成了右边数目（代表人物）的加减法。

熟悉对数的读者一眼就能看出，斯提非所谓的“代表人物”，实际上就是原数以2为底的对数。如log(2)128=7等等。斯提非实际上已经掌握了我们学过的对数运算法则

可是，在斯提非时代还没有分指数的概念，15×129怎么办呢？2047÷258又怎么办呢？它们的“代表人物”是什么呀？这一连串问题，把他弄得束手无策。斯提非只好说：“这个问题太狭窄了，所以不值得研究。”已经走到发明边缘上的脚又缩了回去，真是可惜！

不过，斯提非也有一点功劳，他用的“代表人物”（德文exponent）这个词，后来被数学界正式采用，就是现在我们说的“指数”。

文艺复兴时期，欧洲的科学技术得到了解放，天文、测绘、航海等事业发展异常迅猛。但是，有一个问题使科学家们大为头疼，就是庞大数字的乘、除、乘方、开方等运算十分繁难，不少人把大量宝贵的时间和精力都花在这里面。怎样才能简化计算的手续，把科学家从繁难的运算中解放出来呢？这成了当时一个迫切需要解决的问题。由于这种客观需要的推动，纳白尔成了对数的第一个发明者。

纳白尔（1550—1617）是苏格兰爱丁堡贵族。他多才多艺，对天文学、机械学都有研究，特别精通于数学计算。球面三角学中有他发现的公式；用来作乘除法速算的“纳白尔算筹”被誉为世界上计算机的萌芽。

纳白尔大约从40岁（1590年）开始研究对数。当时欧洲代数学还十分落后，连“指数”、“底数”这些概念都还没有建立。可是，在纳白尔的刻苦钻研下，却首先发明了对数。对数的出现，竟然比指数还早，这不能不说是数学史上的一大奇迹。

在没有指数概念的情况下，纳白尔是怎样想出对数来的呢？这是一个非常有趣的问题。纳白尔是这样考虑的。设线段TS长度为a, T'E是一条射线。质点G从T开始作变速运动，其速度与它到S的距离成正比。质点L从T'开始作匀速运动，其速度与G的初速相同（图3 )。当G运动到图中G点的时候，L运动到图中L点，设GS=x, T'L=y。纳白尔称y为x的对数。实际上，x在变化时可以看成一个无穷递缩等比数列，而y在变化时可以看成一个无穷递增等差数列。和斯提非一样，等差数列y就是等比数列x的“代表人物”（对数）。不过纳白尔比斯提非高明的地方是x和y作连续变化，所以打破了斯提非x和y均为整数的限制。

图3

纳白尔对数的概念，如果改用现代数学语言来叙述就明白多了。看图3，因为G的速度与x成正比，所以dx/dt=-kx（k为比例常数，负号表示减速）。又因为L作匀速运动，其速度等于G在T的初速ka，所以dy/dt=ka（a就是TS的长度）。所以

为了简单起见，设a=1（单位长），则dy/dx＝-(1/x)。再对此式求积分我们得到log(e)x=-y。

e就是自然对数的底。从以上结果看，纳白尔对数实际上就是以1/e为底的对数。纳白尔完全不用现代数学术语，而用一般口语，直观地加以描述。得出了“对数”的定义。当时由于天文学计算的需要，纳白尔把TS(=a)当作最大的正弦值，而计算x的相应的对数值y，这样他造出了世界上第一个三角函数的对数表。

1614年纳白尔的对数大作《奇妙的对数》一书在爱丁堡出版。这本书是大约有200页的8位对数表，花了他将近20年的心血。书出版时纳白尔已经64岁了。20年紧张艰苦的劳动，耗尽了他的精力。这本书出版后三年，纳白尔就离开了人世。

纳白尔生前常常说：“我总是尽我的一切力量，来减轻人们繁重而单调的计算。这种令人厌烦的计算，往往吓倒了许多学习数学的人。”为了减轻别人计算的繁难，他自己却在繁难的计算中度过了最后的20年！

纳白尔发明对数，在当时来说的确是一件非常了不起的贡献。十八世纪法国大数学家拉普拉斯有一句很著名的话评价对数的伟大意义，他说：“对数的发现，等于将科学家的寿命延长了两倍。”

1614年纳白尔的对数大作发表以后，并没有立刻引起科学界的重视，却震惊了伦敦的一位数学家布里格斯。布里格斯（1561—1631）先在伦敦格热沙姆学院当几何学教授，后来又在牛津大学当天文学教授。真是“慧眼识英雄”，布里格斯一眼就看出了纳白尔工作的重大意义。他写道：“纳白尔用他新颖而奇妙的对数使我能够用脑和手来工作。我从未读过一本能够使我这样惊异和喜爱的书了。我希望今年夏天能见到他。”

1616年夏天，布里格斯写信给纳白尔，决定亲自到爱丁堡登门拜访。从伦敦到爱丁堡千里迢迢，当时还没有火车， 布里格斯乘坐马车日夜兼程前进。不料马车在途中出了毛病，无法如期到达。布里格斯在这里心急如焚，纳白尔在那边望眼欲穿，他口中一遍又一遍念道“亨利（布里格斯）也许不会来了吧？”正在这时，忽听一下敲门声，纳白尔真是喜出望外。见面时，两人争先伸出手来紧紧地握住不放，两对喜悦的眼睛里流出了泪水。由于过分的激动，两张嘴唇微微痉挛，足足有一刻多钟，大家呆呆地站立着，讲不出话来。

最后还是布里格斯先开口：“我长途跋涉，唯一的目的就是想见见你本人，并且想知道，你是靠什么样的一种天才武器才第一次发现这个对天文学真是妙不可言的方法——对数。为什么没有人早些把它找到呢？”两人手拉手地在房间里踱着谈着，真是“酒逢知己千杯少”。为探求真理，为共同事业，他们遂结为终生知己。

纳白尔讲述了他发明对数的经过和详细计算方法。布里格斯根据他在牛津大学讲授对数的经验（他已经把纳白尔对数给学生讲过几次课），提出了改进意见，主张1的对数为 0 ,10的对数为1，这样更便于运算，这就是以10为底的常用对数的产生。纳白尔非常赞成他的建议。可惜的是，改进的计划还没有开始，第二年（1617年）纳白尔就离开人世了。

纳白尔没有完成的宏伟事业，由已经56岁的布里格斯继承下来了。布里格斯是一位深受大家喜爱，并且非常富有事业心的教授。他对纳白尔的对数表作了很大的改进。第一， 纳白尔对数只限于三角函数的对数值，他把它改为一般数值的对数，扩大了应用范围；第二，以10为底，计算方便。1624年（这时布里格斯已经63岁）出版了《对数算术》一书，载有1—20,000以及90,000—100,000的14位常用对数表，这是世界上第一个常用对数表。中间的空隙还来不及补满，布里格斯就逝世了。

布里格斯没有完成的部分，即20,000—90,000的常用对数，于1628年由荷兰数学家富拉克补齐了。富拉克的对数表是10位对数表。到1794年又出现了7位对数表。

从实用的角度出发，对数表的演化是从多位尾数演进到更短的尾数。学校里以前采用的都是5位对数表，后来一律改用4位对数表了。7位对数表需要约200页，5位对数表只要30页，4位对数表只要3页，当然，由于某些特殊需要，曾经有人造过20位、48位、61位、102位甚至260位的自然对数表！

对数表和计算尺现在已经逐渐被计算机、计算器这些更为先进的工具所代替了，但是对数的发明在历史上的功绩是永远不会磨灭的。