黎曼微积分（国际学科备考系列）

为了给各位学习国际课程的同学们，带来更多的干货备考资料。深圳新东方国际学科的各位老师们在百忙的授课之余；整理出了一份原创的“新东方国际学科备考系列文章”。

以下是“深圳新东方国际学科备考系列”的

第五篇：

AP-微积分：“黎曼和”是什么？

本文作者：高哲钰老师

我们常说的“微积分(calculus)”包括了“微分(derivative)”和“积分(integral)”两个部分。

如果说“微分”是将一个宏观的，很大的物体拆成微观上很小的一块一块，那么“积分”就是将这些微观上很小的一块一块拼凑回那个整体。这也是为什么同学们在学习微积分时，最开始接触积分，都是以它作为微分的逆运算(anti-derivative)入门进行学习的。

但实际上，真正的积分(integral)来源于一个叫做Bernhard Riemann (1826-1866)的德国数学家。

波恩哈德·黎曼 Bernhard·Riemann

(1826-1866)

在当时微分的概念被普遍传播的背景下，他开始思考并想出了如何计算一块不规则土地的面积：将这不规则图形切成一条条的小长条，然后将这个长条近似的看成一个矩形(rectangle)，再分别测量出这些小矩形的长度，再计算出它们的面积，把所有矩型面积加起来就是这块不规则地的面积。

这就是著名的：

“黎曼和”(Riemann Sum)

例如：

我们想知道在这个函数f（x）=x² 从 x=0到x=4之间和x-axis所围成的面积。（图1）

图1

根据黎曼提出的方法，我们可以把它分成4个宽度相等(均为1)但高不相同的长条（图2），那么我们所想知道的面积可以被估计为：

图2

但是，从图2不难看出，我们所找到的估计值比实际值是要多出4块不规则图形的，那么有什么方法可以减少我们“估计值”和“实际值”的误差呢？

答案是：把这块面积分成更多宽度相等的长方形。

图3

这一次，我们把它分成8个宽度相等(均为0.5)但高不相同的长条（图3），那么我们所想知道的面积可以被估计为：

这一次，虽然我们估计出来的数值依然高于实际我们所需要求的面积，但相较于分成4份而言，这个估计的误差已经缩小了很多。当然，与此同时，我们的计算过程也变得更加的复杂了。

那么，在先不考虑计算量的情况下，我们如何能尽可能的准确估计实际的面积呢？

答案呼之欲出：分成尽可能多的（无数个）宽度相等的长方形。（图4）

图4

假设我们分成了n个长方形，那么每个长方形的宽应为：

第一个长方形的高为：

第二个长方形的高为：

第三个长方形的高为：

最后一个（第n个）长方形的高为：

则面积为：

（注：在面积的化简过程中，我们用到了平方和公式：

具体证明过程在此省略，有兴趣的同学可以运用数学归纳法induction自行推导。另外 4／n=w 是我们一开始所假设的宽。）

当我们分成无数个这样的长方形时，n趋近于∞，我们的面积运用极限的知识可以求得：

当然，在一开始，由于我在决定每个长方形高度时，都选择了右手边作为高，这导致了我们计算的面积高于了我们实际的面积，随着我们分成的长方形的数量越来越大，多出来的部分也随之减小，从而最终当n趋近于∞时得到一个确切的数值。

类似的，我也可以把每个长方形的左手边作为高（图5），这样虽然会导致计算的面积低于我们实际的面积，但同样当n趋近于∞时得到一个确切的数值，并且这两个数值是相等的。

图5

抑或是把每个长方形选取中间作为高（图6），当n趋近于∞时求得的面积依然是相同的。

图6

当然，除了把这块面积分成很多个长方形，我们也可以把它分成梯形来计算。

以上四种方式就是在我们AP微积分中常被考察到利用黎曼和估计某块面积（积分）的方法：

,