自然对数的推导（自然对数的发现史）

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我们只需要编制一个对数表，就可以简化实际中遇到的任何复杂运算，比如我们需要计算1.1234^1.6789的值（当然，现在有计算器，我们无需去做这种无意义的存计算）；常规方法很难处理，如果我们有指数表的话，只需要查询log1.1234=0.091491，计算log1.1234^1.6789=1.6789log1.1234=0.153604；

10为底的对数表

然后用对数表，反向查询0.153604对应对数值，那么1.4243就是我们需要的结果，即1.1234^1.6789=1.4243.

这样就把十分复杂的指数运算，转化成相对简单的乘法运算，如果你还觉得复杂，你甚至可以进一步把乘法转化成加法运算。

数学家进一步的研究，发现该对数表有两个特点：

1、 我们运算的结果不依赖于对数表所取底数值，但是底数值的选取，决定了对数表的编制难度；

2、 任何指数和乘方运算，都可以转化成0～1之间的对数运算，所以我们需要6位精度的运算，只需要编制0.000001～0.999999的对数表即可。

数学家首先想到的，当然就是10为底的对数，但这会遇到什么问题呢？看下表：

10为底的对数表

以10为底，在没有计算器的年代编制对数表，计算的a值好像并不简单，涉及10的非整数次方。

不过数学家有办法解决，利用指数运算的性质，如果我们使用10^10000作为底数，就不会出现非整数次方了，如下表：

10^10000为底的对数表

但另外的问题出现了，随着对数值b的增大，我们得到a的值将以指数增加，相邻值间的距离太大，比如b=0.2017时，a的值将达到10^2017，这是很糟糕的结果。

那有没有处理办法呢？

显然对于底数为m^n，n取得越大，越利于后面的计算，要使得计算结果不要太大，就要减小m的取值，但m不能无限小，m要在1附近，这样以（m^n）作为底数，才能使得对数值在合适范围内，比如底数取0.999999或者1.000001。

那么对底数的选取，就转化成（1 m）^n，进一步研究还能发现，如果m和n互为倒数，可以进一步简化计算，那么对底数的选取，就成了这种形式：

对数底的优化形式

其中n取得越大越，对数表的精度越高，比如计算底数为（1 0.00001）^10000值为0.2017的对数，就成了计算1.00001^2017的值，如果你记得指数运算的一个技巧的话，你可以很快知道，这个值大约为1 0.0001*2017=1.2017,实际上这个值是1.2235,两者相对误差是2%，我们仅凭心算就得到了如此高的精度。

指数特殊形式运算技巧

而对于算法学家来说，每增加一个误差项就可以进一步提高精度，直到满足自己需求为止，看来我们的路是走对了。

看到这里，大家是不是看出了自然对数的影子！

如果有人觉得，这时候提出自然对数应该是理所当然的，那么他肯定是把中学生的"理所当然"和婴儿的"理所当然"弄混淆了。

1614年，英格兰数学家纳皮尔（John Napier,1550～1617）出版了《奇妙的对数定律说明书》，书中他首次提出对数概念，并编制了史上第一张对数表，他使用的底数就是（1 1/10^7）^10^7。

过了2年（1616），伦敦的另外一位数学家布里格斯（Briggs Henry，1561-1630），特意来拜访纳皮尔，给他的对数表改进提了建议，可惜的是纳皮尔第二年（1617）就去世了，不过布里格斯继承了纳皮尔的工作，他把纳皮尔对数表的底数改成了10，并制作了精度达14位的对数表，这也耗费了他8年的时间。

到了这里，其实我们离自然对数的提出，还差100多年呢！期间虽然有其他数学家看到了自然对数的影子，但没有谁能抓住那影子。

比如牛顿在1665年对1/（1 x）的二项式展开中，首先得到了自然对数的级数；莱布尼兹在1690年给惠更斯的信中，也提到了这个常数，莱布尼兹用b表示；但他们对这个数的认识还不够深。

直到17世纪，瑞士数学家欧拉，才看穿这个常数的秘密，1730年，欧拉正式定义了自然对数，指出指数运算和对数运算互为逆运算，并用e来表示自然对数，推广了e的使用，所以自然对数也叫做"欧拉常数"。

自然对数（欧拉常数）

至此，自然对数登上数学大舞台！人们随后才发现什么复利计算，什么自然增长……居然和这个常数密切相关，其地位也和圆周率不分上下。

好啦，这篇关于自然对数的文章，就给大家介绍到这里。在后面的文章中，我们将为大家展示：欧拉恒等式可以源源不断地生成圆周率计算公式。喜欢我们文章的读者朋友，欢迎点击关注我们，我们将在后续更新文章。

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