关于高中圆的知识点和解题方法（求解圆的动点问题有诀窍）

近年来，初中数学动点问题在中考中出现的考点形式层出不穷，动点问题在中考数学中出现的频率非常之高，难度也非常的大。很多考生看到动点相关问题就怕，不知道从何下手解决。因此，很多人就常常会问动点问题会考哪些内容？怎么考等类似的问题。

专题综述

为什么初中数学的动点问题对同学们来讲这么难呢？首先，动点问题本身就是一个数学难点，其次，考试中的动点问题往往结合了几何、函数等方面的知识，更是加深了题目难度。因此，很多同学在中考复习阶段的时候会着重复习数学动点问题。

动点问题之所以会难，主要在于它能把很多知识内容结合在一起，形成不同类型的动点综合问题，如函数动点综合问题、代数动点综合问题、函数与几何动点综合问题、几何动点综合问题等，而几何动点综合问题细分的话，又可以分出四边形动点综合问题、三角形动点综合问题、与圆相关的动点综合问题等。

受疫情影响，不少初三毕业班老师担心，由于复习、预热不足，今年的中考、高考总体成绩可能会受到一定影响。为了能更好帮助大家战胜动点类综合问题，在中考数学中取得优异的成绩，今天我们来看与圆相关的动点综合问题，期待同学加练一下。

经典考题

1．（2020•泸县模拟）如图，在⊙O中，弦AB＝8，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值是（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8

【解析】作OH⊥AB于H，连接OA、OD，如图，

2．（2019秋•安徽期末）如图，已知⊙O的半径为5，P是直径AB的延长线上一点，BP＝2，CD是⊙O的一条弦，CD＝6，以PC，PD为相邻两边作平行四边形PCED，当C、D点在圆周上运动时，线段PE长的最大值为（　　）

A．24 B．22 C．20 D．18

【解析】：连接OC．设CD交PE于点K，连接OK．

∵四边形PCED是平行四边形，

∴EK＝PK，CK＝DK，CD＝6，∴OK⊥CD，

在Rt△COK中，∵OC＝5，CK＝3，

∴由勾股定理可求得OK＝4，

∵OP＝OB PB＝7，∴7﹣4≤PK≤7 4，

∴3≤PK≤11，∴PK的最小值为3，最大值为11，

∴PE的最大值为22，故选：B．

3．如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为2√3，以AB为直径作⊙M，点C是优弧AB上的一个动点，连结AC、BC分别交⊙M于点D、E，则线段CD的最大值为（　　）

A．√3 B．2 C．2√3 -2 D．4-2√3

【解析】：如图：连接OM，OB，OA，BD．

则在Rt△OMB中，∵OB＝2，MB＝√3，∴OM＝1．

∵OB＝2，∴∠OBM＝30°．∴∠MOB＝60°．

连接OA．则∠AOB＝120°．∴∠C＝1/2∠AOB＝60°．

∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴∠CDB＝90°，

∴∠CBD＝30°，∴CD＝1/2BC，

∴当BC取最大值时，CD最大．

如图2，当BC是直径时，BC最大，此时点A、D重合．即BC＝4．

∴CD最大＝2．故选：B．

4．（2019•黄埔区一模）如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD＝3，AB＝8，PM＝l，则l的最大值是______．

【解析】：方法一、延长CP交⊙O于K，连接DK，

则PM＝1/2DK，当DK过O时，DK最大值为8，PM＝1/2DK＝4，

方法二、连接CO，MO，

∵∠CPO＝∠CMO＝90°，

∴C，M，O，P，四点共圆，且CO为直径（E为圆心），

连接PM，则PM为⊙E的一条弦，当PM为直径时PM最大，所以PM＝CO＝4时PM最大．即PMmax＝4，

故答案为：4．

5．如图，已知线段AB＝4，C为线段AB上的一个动点（不与点A，B重合），分别以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE，⊙O外接于△CDE，则⊙O半径的最小值为_______．

【解析】：如图，分别作∠A与∠B角平分线，交点为P．

∵△ACD和△BCE都是等边三角形，∴AP与BP为CD、CE垂直平分线．

又∵圆心O在CD、CE垂直平分线上，则交点P与圆心O重合，即圆心O是一个定点．

连接OC．若半径OC最短，则OC⊥AB．

又∵∠OAC＝∠OBC＝30°，AB＝4，∴OA＝OB，∴AC＝BC＝2，

∴在直角△AOC中，OC＝AC•tan∠OAC＝2×tan30°＝2√3/3．

故答案为2√3/3．

6．（2020•武汉模拟）如图，在⊙O中，弦AB＝4√3，点C是弧AB上的动点（不为A，B），且∠ACB＝120°，则CA CB的最大值为______．

【解析】：取优弧AB中点P，连接PC，PA，PB，延长CA至M，使MA＝CB，连接PM．

∵弧PA＝弧PB，∴PA＝PB，

∵∠APB ∠ACB＝180°，∠ACB＝120°，∴∠APB＝60°，

∴△APB是等边三角形，∴∠ACP＝∠ABP＝60°，

∵∠PAM ∠PAC＝180°，∠PAC ∠PBC＝180°，∴∠PAM＝∠PBC，

∵AM＝BC，AP＝BP，∴△MAP≌△CBP（SAS），∴PM＝PC，

∵∠PCM＝60°∴△MPC为等边三角形，

∴PC＝CM．∴CA CB＝PC，

过点P作PD⊥AB连接OB，

∵△PAB是等边三角形，∴PD过圆心O，∠BPD＝30°，

∴OB＝4，当PC为圆的直径时，CA CB的最大值为8．故答案为8．

7．（2020•泸县模拟）如图，已知直线y＝4/3x﹣3与x轴、y轴分别交于A，B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA，PB，当△PAB的面积最大时，点P的坐标为_______．

【解析】：过C作CM⊥AB于M，交x轴于E，连接AC，MC的延长线交⊙C于D，作DN⊥x轴于N，

∵直线y＝4/3x﹣3与x轴、y轴分别交于A，B两点，

∴A（4，0），B（0，﹣3），

8．（2019秋•兴国县期末）在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点B、C，半径为1的⊙P的圆心P从点A（4，m）出发以每秒√2√个单位长度的速度沿射线AC的方向运动，设点P运动的时间为t秒，则当t＝_________秒时，⊙P与坐标轴相切．

【解析】：设⊙P与坐标轴的切点为D，

∵直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点B、C，点A（4，m），

∴x＝0时，y＝﹣2，y＝0时，x＝2，x＝4时，y＝2，

∴A（4，2），B（2，0），C（0，﹣2），

∴AB＝2√2，AC＝2√2，OB＝OC＝2，

∴△OBC是等腰直角三角形，∠OBC＝45°，

①当⊙P与x轴相切时，

∵点D是切点，⊙P的半径是1，∴PD⊥x轴，PD＝1，

∴△BDP是等腰直角三角形，∴BD＝PD＝1，PB＝√2，

∴AP＝AB﹣PB＝√2，

∵点P的速度为每秒√2个单位长度，∴t＝1；

②如图，⊙P与x轴和y轴都相切时，

∵PB＝√2，∴AP＝AB PB＝3√2，

∵点P的速度为每秒√2个单位长度，∴t＝3；

③当点P只与y轴相切时，

∵PB＝√2，∴AP＝AC PB＝5√2，

∵点P的速度为每秒√2个单位长度，∴t＝5．

综上所述，则当t＝1或3或5秒时，⊙P与坐标轴相切，

故答案为：1或3或5．

9．（2019秋•锡山区期末）【问题发现】如图1，半圆O的直径AB＝10，点P是半圆O上的一个动点，则△PAB的面积最大值是______-；

【问题探究】如图2所示，AB、AC、弧BC是某新区的三条规划路，其中AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，弧BC所对的圆心角为60°．新区管委会想在弧BC路边建物资总站点P，在AB、AC路边分别建物资分站点E、F，即分别在弧BC、线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．显然，为了快捷环保和节约成本，就要使线段PE、EF、FP之和最短（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）．可求得△PEF周长的最小值为______　km；

【拓展应用】如图3是某街心花园的一角，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝12米，在围墙OA和OB上分别有两个入口C和D，且AC＝4米，D是OB的中点，出口E在弧AB上．现准备沿CE、DE从入口到出口铺设两条景观小路，在四边形CODE内种花，在剩余区域种草．

①出口E设在距直线OB多远处可以使四边形CODE的面积最大？最大面积是多少？（小路宽度不计）

②已知铺设小路CE所用的普通石材每米的造价是200元，铺设小路DE所用的景观石材每米的造价是400元．

请问：在弧AB上是否存在点E，使铺设小路CE和DE的总造价最低？若存在，求出最低总造价和出口E距直线OB的距离；若不存在，请说明理由．

【解析】【问题发现】如图1，点P运动至半圆O的中点时，底边AB上的高最大，即P'O＝r＝5，

此时△PAB的面积最大值，∴S△P'AB＝1/2×10×5＝25，

故答案为：25；

【问题探究】如图2，假设P点即为所求，分别作点P关于AB、AC的对称点P'、P''，连接PP'，分别交AB、AC于点E、F，连接PE，PF，

由对称性可知，PE EF PF＝P'E EF FP''＝P'P''，且P'、E、F、P''在一条直线上，∴P'P''即为最短距离，其长度取决于PA的长度，

作出弧BC的圆心O，连接AO，与弧BC交于P，P点即为使PA最短的点，

∵AB＝6，AC＝3km，∠BAC＝60°，

∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝30°，BC＝3√3，

∵BC所对的圆心角为60°，

∴△OBC是等边三角形，∠CBO＝60°，BO＝BC＝3√3，

∴∠ABO＝90°，AO＝3√7，PA＝3√7﹣3√3，

∵∠P'AE＝∠EAP，∠PAF＝∠FAP''，

∴∠P'AP''＝2∠ABC＝120°，P'A＝AP''，

∴∠AP'E＝∠AP''F＝30°，

∵P'P''＝2P'A•cos∠AP'E＝√3P'A＝3√21﹣9，

∴△PEF周长的最小值为3√21﹣9；

【拓展应用】①如图3﹣1，作OG⊥CD，垂足为G，延长OG

交弧AB于点E′，则此时△CDE的面积最大，

∵OA＝OB＝12，AC＝4，点D为OB的中点，∴OC＝8，OD＝6，

在Rt△COD中，CD＝10，OG＝4.8，∴GE′＝12﹣4.8＝7.2，

∴出口E设在距直线OB的7.2米处可以使四边形CODE的面积最大为60平方米；

②铺设小路CE和DE的总造价为200CE 400DE＝200（CE 2DE），

如图3﹣2，连接OE，延长OB到点Q，使BQ＝OB＝12，连接EQ，

10．（2020•福清市模拟）如图，B，E是⊙O上的两个定点，A为优弧BE上的动点，过点B作BC⊥AB交射线AE于点C，过点C作CF⊥BC，点D在CF上，且∠EBD＝∠A．

（1）求证：BD与⊙O相切；

（2）已知∠A＝30°．

①若BE＝3，求BD的长；

②当O，C两点间的距离最短时，判断A，B，C，D四点所组成的四边形的形状，并说明理由．

【解析】（1）证明：如图1，作直径BG，连接GE，

则∠GEB＝90°，∴∠G ∠GBE＝90°，

∵∠A＝∠EBD，∠A＝∠G，∴∠EBD＝∠G，

∴∠EBD ∠GBE＝90°，∴∠GBD＝90°，

∴BD⊥OB，∴BD与⊙O相切；

（2）解：如图2，连接AG，

∵BC⊥AB，∴∠ABC＝90°，

由（1）知∠GBD＝90°，∴∠GBD＝∠ABC，

∴∠GBA＝∠CBD，

又∵∠GAB＝∠DCB＝90°，∴△BCD∽△BAG，

∴∠OMB＝60°，∴MC＝MB，∴∠MDC＝∠MCD＝30°＝∠A，

∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABC＝∠DCB＝90°，

∴AB∥CD，∴∠A ∠ACD＝180°，∴∠BDC ∠ACD＝180°，

∴AC∥BD，∴四边形ABCD为平行四边形．

11．（2019秋•工业园区期末）如图①，在矩形ABCD中，BC＝60cm．动点P以6cm/s的速度在矩形ABCD的边上沿A→D的方向匀速运动，动点Q在矩形ABCD的边上沿A→B→C的方向匀速运动．P、Q两点同时出发，当点P到达终点D时，点Q立即停止运动．设运动的时间为t（s），△PDQ的面积为S（cm2），S与t的函数图象如图②所示．

（1）AB＝______cm，点Q的运动速度为______cm/s；

（2）在点P、Q出发的同时，点O也从CD的中点出发，以4cm/s的速度沿CD的垂直平分线向左匀速运动，以点O为圆心的⊙O始终与边AD、BC相切，当点P到达终点D时，运动同时停止．

①当点O在QD上时，求t的值；

②当PQ与⊙O有公共点时，求t的取值范围．

【解析】本题考查了矩形的性质，二次函数的图象及性质，切线的性质等，综合性强，解题关键是能够根据题意画出图形并能够用含字线母的代数式正确的将相关线段的长表示出来等．

（1）设点Q的运动速度为a，则由图②可看出，当运动时间为5s时，△PDQ有最大面积450，即此时点Q到达点B处，

∵AP＝6t，∴S△PDQ＝1/2（60﹣6×5）×5a＝450，

∴a＝6，∴AB＝5a＝30，故答案为：30，5；

（2）①如图1，设AB，CD的中点分别为E，F，当点O在QD上时，

QC＝AB BC﹣6t＝90﹣6t，OF＝4t，

∵OF∥QC且点F是DC的中点，

∴OF＝1/2QC，即4t＝1/2（90﹣6t），解得，t＝45/7；

②设AB，CD的中点分别为E，F，⊙O与AD，BC的切点分别为N，G，过点Q作QH⊥AD于H，

如图2﹣1，当⊙O第一次与PQ相切于点M时，

∵AH AP＝6t，AB BQ＝6t，且BQ＝AH，

∴HP＝QH＝AB＝30，∴△QHP是等腰直角三角形，

∵CG＝DN＝OF＝4t，

∴QM＝QG＝90﹣4t﹣6t＝90﹣10t，PM＝PN＝60﹣4t﹣6t＝60﹣10t，

∴QP＝QM MP＝150﹣20t，

∵QP＝√2QH，∴150﹣20t＝30√2，∴t＝(15-3√2)/2；

如图2﹣2，当⊙O第二次与PQ相切于点M时，

∵AH AP＝6t，AB BQ＝6t，且BQ＝AH，

∴HP＝QH＝AB＝30，

∴△QHP是等腰直角三角形，

∵CG＝DN＝OF＝4t，

∴QM＝QG＝4t﹣（90﹣6t）＝10t﹣90，

PM＝PN＝4t﹣（60﹣6t）＝10t﹣60，

∴QP＝QM MP＝20t﹣150，

方法总结

动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性,如线段或面积的最值。

与圆相关的动点综合问题具有题型繁多、题意创新等鲜明特点，要想正确解决此类题型，考生必须要不断提高分析问题和解决问题的能力，如空间观念、应用意识、推理能力等。问题会以一些几何知识和具体的几何图形为背景，在几何图形中渗透运动变化的观点，通过点、线、形的运动，图形的平移、翻折、旋转等等把图形的有关性质和图形之间的数量关系和位置关系看作是在变化的、相互依存的状态之中。

从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各省市的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向。

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