初一代数有哪些知识点(初中代数哪些事儿03方程)

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​模型技巧-初中经典模型-经典体系

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今天又来写初中代数那些事儿了,今天写的是方程,写一写一些常见的不常见的初中方程的相关知识。之前的两期内容请去公众号中查看。

01、方程中的概念

如图:

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初中学习的方程大多是两类,但是沪教版是三类,多了一类无理方程

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常见的四大方程,都被研究的比较透彻,会求一般情况下的解。

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注意初中透彻学习的是可化为一元一次方程的分式方程

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沪教版中额外出现了的方程:都不是一般情况下的方程,而是在比较特殊的情况下的方程,如下:

特殊的高次方程:

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特殊的二元二次方程:

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特殊的无理方程:

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02、解方程的方法

方程不同解法也就不同,学方程就必学会解方程,因为方程是用来解决实际问题的工具。解不了方程,实际问题就没法解决。

解方程的一般方式是变形!

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这里注意区分恒等变形和同解变形,有时候利用等式性质进行的变形,并不是同解变形。

当然最基础的就是有一元一次方程的解法:小学学过,初中加强。

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整个解方程的思想是转化的思想,先学简单的,再学复杂一点的,解的时候可以把复杂的化为学过的简单情况去求解!比如分式方程和二元(多元)一次方程组,都是化为一元一次方程求解,当然一元二次方程其实也是可以通过因式分解和配方法,然后化为一元一次求解。不过总结出来公式以后就都不用别的了!包括沪教版的,高次方程,无理方程,二元二次方程组,也蕴含了转化的思想。

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03、有趣的问题

观察下面的变化过程!

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这是前几天于特在群里发的一个图片,引起了老师们的讨论,最后为什么会产生矛盾呢?其实就是同解变形的问题,明眼人能看的出来:

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很多老师都发现了第五行的问题:

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这是漏解了根,确实,但是一开始无实数根,这个1是怎么多出来的呢?看下面:

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现在看出来增根1是这时候产生的。

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所以刚才说的,看是等量代换,其实不是同解变换。可能是因为代换式子中出现了平方,而平方具有扰乱正负的作用。

其实这个变形中还有一个问题,就是第二步也不是很严谨,在同除以未知数的时候没有考虑其不为0,原式当中x是可以为0的,变形之后就不能为0了

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04、二元一次方程组的解

二元一次方程组的解,就是对应的两个一次函数图像的交点的俩坐标

如图:(唯一解)

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直线平行(无解)

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直线重合(无数解)

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05、分式方程的增根

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分式方程在变形过程中也不一定是同解变形,也有可能会产生增根

增根和无解是不一定相关的,也不是毫无关系,因增根而无解的也有很多!

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06、配方法推公式法

一元二次方程的求根公式其实是配方法推出的,书上有。可以推推试试,提前熟悉一下字母倒来倒去。高中经常要算字母。

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注意最后这一步,根据前文,先平方再开方,是等于绝对值的,但是因为外面是“加减号”所以绝对值也就没什么存在的必要 了!

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根据公式还可以推倒:韦达定理

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07、不等式(组)的解法

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两不等式取公共部分的顺口溜。

常常借助数轴画图像:

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尤其是多个不等式取解集时,看看横线最多且等于不等式个数 的部分就是解集!

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不等式求解过程的经典易错点,注意正负,尤其是未知数的时候,要分类讨论正负,当然也可以借助后面学的反比例函数图像!

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08、参数问题

参数问题是有通法的:

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用上面方法,试试以下的参数问题:

01

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09、方程的应用

方程就是为实际问题而生的,还记得小学复杂问题的算数方法吗?简直是噩梦。

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10、列方程的技巧

方程的解法虽然各有不同,但是方程的列法是统一的,体现一个方法:就是用字母表示数量。

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