函数的单调性知识点教案（函数的单调性的教学为例）

——以一节“函数的单调性”的教学为例

许兴震（江苏省扬州市邗江区教育局教研室）

摘要：针对某些课堂中的教学目标定位偏差较大的现象，以“函数单调性”的教学为例，说明只有加强对新课标的研究，尤其需要加强对“过程与方法”“情感态度价值观”的研究，并深入领会教材的编写意图，才能在教学中有机协调地推进三维目标，发挥数学教学的育人功能．

关键词：教学目标；偏差分析；单调性

数学概念是学生学好数学知识、掌握数学思想方法、提高思维能力的基础，同时又是培养学生科学态度和理性精神的基本要素．而数学概念的概括性、抽象性对刚刚进入高中学习的学生来说具有一定的挑战性．为此，在概念教学中我们要充分揭示数学概念的发生、发展和形成过程，体会蕴含在其中的数学思想方法，发挥概念教学的育人功能．实践证明，要在课堂教学中真正落实上述要求，需要教师对教学目标做好准确定位．近期，笔者参加了市教研室组织的对高一年级教学视导活动，从所听的四节课题同为“函数的单调性”的教学情况看，不少教师对教学目标的定位还存在着明显的偏差，下面笔者选取其中典型的一个教学案例进行分析，与同行切磋．

一、主要教学环节实录

环节１：建构概念

二、教材内容简析

教学目标对教学设计起着统领作用，准确定位“函数的单调性”的教学目标，需要从以下几个方面进行分析。

1．内容分析

（1）单调性本身层面.

教材中对函数单调性的教学安排分为两个阶段．第一阶段：通过对函数图象的观察，形成对函数单调性的直观认识,用自然语言描述函数单调性的特征,用数学符号语言形成函数单调性概念，通过运算严格证明函数的单调性；第二阶段：用导数研究函数的单调性．高一阶段的函数单调性的教学处于第一阶段．

（2）函数层面.

单调性和奇偶性、周期性一样，都是研究自变量变化时，函数值的变化规律．单调性是高中教材中研究的函数的第一个性质．

（3）数学学科层面.

单调性的研究为进一步研究函数的其他性质提供了方法依据，是学习不等式、极限、导数等其他数学知识的基础，在培养学生科学态度和理性精神方面具有及其重要的意义．

2．学情分析

学生在初中阶段对函数单调性有初步的了解，主要是通过数形结合的方法，对函数单调性形成直观的认识，并能用自然语言描述函数单调性，这是我们教学的起点．函数的单调性是学生进入高中阶段以后，研究的函数的第一个性质，也是学生第一次用数学符号语言来描述数学概念，第一次尝试用代数的方法证明函数的性质．同时，函数单调性的研究过程，为学生今后学习函数其他性质具有较强的迁移作用．

３．重、难点分析

重点：建构函数单调性的概念；难点：理解函数的单调性．

４．目标定位

（1）建构函数单调性的概念。（2）掌握判定函数单调性的方法。（3）在函数单调性概念建构过程中，让学生体验知识发生、发展和形成的过程，培养其科学态度和理性精神。（4）初步掌握用数形结合的方法来研究函数．

三、课例中教学目标定位的偏差分析

1.概念的形成过程需要进一步细化

本课例中，在“建构概念”环节，教师明确了本节课的任务，引导学生通过三个层次逐渐加深对函数单调性的认识．第一个层次是让学生通过对二次函数图象的观察，指出递增和递减区间．第二个层次是学生用自然语言对函数的单调性进行描述，同时指出，需要用自变量和函数值大小变化的关系来刻画“递增”和“递减”（本意是：如何用数学符号语言刻画函数的单调性），以达到比学生用自然语言更加精细、严谨、规范的要求，指出了给出符号化概念的必要性．在第三个层次，教师用阅读教材的方式给出了符号化概念．我们认为，这种直接将结果呈现给学生的方式，有“灌”的痕迹，显得不够自然．实际上，在函数单调性概念的形成过程中，起主导作用的智力活动方式是学生根据自己的生活体验，对函数图象的观察、对初中学习函数单调性描述性定义的回忆、对函数单调性概念进行符号化的建构．其中，观察、分析是基础，抽象、概括是关键．学生能否在观察分析的基础上抽象出函数单调性的本质属性并概括出其定义，是这种智力活动方式成败的关键，也是区分学生的学习是否是有意义学习的关键．从“数学育人”的角度看，函数单调性概念的建构过程，是培养学生科学态度和理性精神的不可多得的素材．要让学生全程参与到单调性概念的发生、发展和形成过程，这是因为数学概念教学，不仅在于使学生掌握书本知识，更重要的是让他们从中体验数学家概括数学概念的心路历程，领悟数学家用数学的观点看待和认识世界的思想真谛，学会用概念思维，进而发展智力和培养能力［1］．

2.例题的选择值得商榷

判断、证明函数的单调性是本节课的另一个重点内容．此处是学生第一次用代数方法论证，他们独立思考和探究的能力还相对较弱．同时，由于教材的安排，在后续的学习中，还要学习用导数研究函数的单调性．随着研究工具的进步，在高一阶段感到有难度的问题，用导数来进行研究却相对容易．因而在高一阶段，让学生掌握判断、证明函数的单调性的方法，就是让学生掌握对一些简单函数在某个区间上的单调性进行判断和证明的方法，领悟概念的本质．例1中，利用分子有理化判断正负，技巧性较强．为什么要分子有理化而不能直接判断？学生未必能真正理解．例3的教学中，为什么以1为界就能判断出代数式1-

的符号？这些对刚刚接触代数证明的高一学生来讲并不容易．例2是根据函数图象指出函数的单调性，并非本节课学习的重点和难点，也非本节内容中核心的、主干的知识和方法．所以笔者认为例题的选择值得商榷，应选择与本课重、难点吻合且难度合适的题目（后文会给出）．

3.研究方法的一般性需要进一步凸显

笛卡儿说过,最有用的知识是关于方法的知识.函数的单调性是学生学习函数概念后,研究的第一个函数性质,因而其研究方法具有一般性意义．因此，在建构函数单调性概念的过程中，要体现数学研究的框架和函数性质研究的一般方法．而这些研究方法，就如华罗庚先生所言，数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．

四、改进教学的几点建议

3.总结提炼，揭示一般方法

要通过对本节内容的学习，让学生了解研究函数性质的基本思想方法：由形到数，建立函数单调性的概念；再由数到形，运用函数单调性解决各类数学问题．在课堂小结阶段，师生应共同回顾本节课的主要活动程序，为下面研究函数的其他性质奠定基础．

《普通高中数学课程标准（实验）》提出了教学的三维目标，虽然有很多教师在做积极地探索和实践，但不可否认的是还有部分教师对此并没有太多思考．只有加强对课标的研究，尤其是对“过程与方法”、“情感态度价值观”两个维度的目标进行深入研究，并领会教材编写意图，才能对教学目标进行准确的定位，进而真正实现数学教学的育人价值．

参考文献：

［1］章建跃．数学概念教学中培养创造能力［Ｊ］．中小学数学：高中版，2009（11），封底.

［2］尤善培、许兴震．“问题引领，自主建构”教学模式解析［Ｊ］．教育研究与评论（南京），2013（6），33-37.

［3］单墫，李善良．普通高中课程标准实验教科书·数学（必修1）［Ｍ］．南京：江苏教育出版社，2012.