初中数学正方形的判定（正方形性质与判定的灵活运用）

正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形、菱形的所有性质;判定一个四边形是正方形，最常用的方法是先证明它是矩形(或菱形)，再证明这个矩形(或菱形)有一组邻边相等(或有一个角是直角)，也可以先证四边形是平行四边形，再证有一组邻边相等且有一个角是直角，或证这个平行四边形的对角线相等并且互相互垂直

【题目呈现】.

一.求线段的长度

1.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG，求BG的长.

【分析】折叠后两对应图全等，则AF=AD=6，DE=EF=3，折叠问题若图形中有直角三角形，往往用勾股定理列方程求解，若设BG=x，则CG=6一x，由于CE=3，所以需要用x表示GE的长，在Rt△ABG与Rt△AFG中，AB=AF，AG=A0，∴Rt△ABG≌Rt△AFG，∴GF=BG=x，则GE=3 x，于是可得方程:3² (6一x)²=(3 x)²，解得x=2，∴BG=2.

本题还可用面积法来解，接上面的分析，设BG=GF=x，GC=6一x，由S梯形ABCE=S△ABG S△AGF S△AEF S△GCE，即1/2(AB CE)BC=1/2×AB×BG 1/2×AF×GF 1/2×CG×CE，就是1/2(6 3)×6=2×1/2×6x 1/2×6×3 1/2×3(6一x)，解得x=2，即BG=2.

二.求证线段相等

2.如图，M，N分别是正方形ABCD两边AD，DC的中点，CM与BN交于点P，求证:PA=AB.

【分析】要证PA=AB，常规解法是证∠APB=∠ABP，但这两个角如何才能相等呢？结合条件看不出联系，证题陷入死路行不通，我们重新分析条件，M是AD的中点，N是DC的中点，连接M，N，则MN成为△ADC的中位线，还是找不出关系，但我们可以证出△MDC≌△NCB，则∠NCP=∠CBP，∵∠NCP ∠BCP=∠NCB=90°，∴∠CBP ∠BCP=90°，∴∠CPB=∠MPB=90°，由于M是AD的中点，可延长CM，BA交于点E，如图

则可证△CDM≌△EAM，∴AE=DC=AB，则点A是BE的中点，在Rt△BPE中，AP=AE=AB，问题得证.所以通过分析条件，一边推理论证，一边联系相关知识，步步与结论靠近，可谓是解题的通法.

三，在旋转中的运用

3.如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线，将△DCB绕点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG，则下列结论:①四边形AEGF是菱形;②△AED≌△GED;③∠DFG=112.5°;④BC FG=1.5.其中正确的结论序号是(______).

【分析】由于将△DCB绕点D顺时针旋转45°得到△DGH，∴∠HGD=∠EAD=90°，AD=GD，DE=DE，∴Rt△AED≌Rt△GED，∴∠ADE=∠GDE=22.5°，AE=GE，∠AEF=∠GEF，而∠H=∠DAC=45°，∴AF∥HG，∴∠GEF=∠AFE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∴AF=GE，∴四边形AEGF是菱形，由于∠DFC=∠DAF ∠ADE=45° 22.5°=67.5°，而∠GFC=∠BAC=45°，∴∠DFG=∠DFC ∠GFC=112.5°，由于AE=EG=FG，在Rt△EGB中，BE=√2EG，∴BE≠AE≠0.5，∴BC FG≠1.5.所以正确结论的序号为:①②③.

四，求最值

4.如图，正方形ABCD的边长为8㎝，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE=BF=CG=DH.

(1)求证:四边形EFGH是正方形;

(2)判断直线EG是否经过某一定点，并说明理由;

(3)求四边形EFGH面积的最小值.

【分析】(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=90°，AB=DA，∵AE=DH，∴BE=AH，∴△AEH≌△BFE，∴EH=EF，∠AHE=∠BEF，同理:FE=GF=HG，∴EH=FE=GF=HG，∴四边形EFGH是菱形，∵∠A=90°，∴∠AHE ∠AEH=90°，∴∠BEF ∠AEH=90°，∴∠FEH=90°，∴菱形EFGH是正方形.

(2)直线EG经过正方形ABCD的中心，理由是:连接BD交EG于点O，如图，

∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC，AB=DC，∴∠EBD=∠GDB，∵AE=CG，∴BE=DG，∵∠EOB=∠GOD，∴△EOB≌△GOD，∴BO=DO，即点O为BD的中点，∴直线EG经过正方形ABCD的中心.

(3)设AE=DE=x，则AH=8一x，在Rt△AEH中，EH²=AE² AH²=x² (8一x)²=2x²一16x 64=2(x一4)² 32，∴四边形EFGH面积的最小值为32㎝².

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