图形与正方形的关系（图形与几何---正方形）

一．概念描述

现代数学：正方形是特殊的平行四边形之一。即有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形称为正方形。

小学数学：小学数学教材对正方形没有给出明确的定义，一般是通过两个阶段来认识正方形的。如2003年人教版教材第一阶段是在一年级上册第34页，在认识正方体的基础上，感悟面在体上，把其中的某个面画在纸上，就形成了正方形，让学生能直观认识，学会辨认。第二阶段是在三年级上册第34页，通过量一量、折一折、比一比来发现正方形边和角的特点：四条边都相等，四个角都是直角，让学生能依据特征，判断图形是不是正方形。

二．概念解读

正方形在生活中的原型是什么？人们认识正方形最早是通过划分田地开始的，中国古算书中，正方形田称为方田，也称正方形图形为方田。现实生活中，人们在观察物体时，往往看到的是有长短、宽窄和高矮的体，再把体的某个面画在纸上或拍成照片抽象到头脑中，就形成了平面图形。例如餐桌的面、地砖面、玻璃面、魔方的面等往往都是正方形的。

正方形有什么特征呢？如下图：

在平行四边形ABCD中，若AB= BC，且∠A= Rt∠，则平行四边形ABCD为正方形，记作口ABCD，读作正方形ABCD。正方形每条边的长称为正方形的边长。

正方形具有以下特征。

①边：两组对边分别平行，四条边都相等，相邻边互相垂直。

②内角：四个角都是90。。

③对角线：对角线互相垂直，对角线相等且互相平分，每条对角线平分一组对角。

④对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）。

⑤形状：正方形属于长方形的一种，也属于菱形的一种。

⑥正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质。

⑦特殊性质：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45度；正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。

如何判定一个四边形是不是正方形呢？判定正方形有几个充分条件，满足下列条件之一的四边形是正方形：

①四边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

②对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。

③有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形。

④有一组邻边相等的长方形。

⑤有一个角为直角的菱形。

正方形和其他平面图形的关系是什么？正方形是一种特殊的平行边形，也是特殊的长方形和菱形。因此，它具有平行四边形、长方形、菱形的一切性质。在正方形里画一个最大的圆，该圆的面积约是正方形面积的78.5%；正方形外接圆面积大约是正方形面积的157%。

三．教学建议

长方形和正方形是一对孪生兄弟，人们在认识长方形之后，紧跟着就要认识正方形。有了认识长方形的经验，正方形的特征就很容易找到。

关于教学过程和方法建议可参见“长方形”概念教学建议部分。

四．推荐阅读

《数学辞海·第一卷》（裘光明，山西教育出版社，2002）

该书的第136页论述了正方形的意义和性质、判定。