高中数学双曲线重难点及其地位（高中数学实用干货）

一、知识点归纳

二、解题方法

求双曲线的标准方程主要是求实半轴长（a）和虚半轴长（b）。基本思路有两条途径：

一是根据条件直接求得a与b的值；

二是根据题设条件设出

（a>0，b>0）标准方程，再建立关于a与b的方程组，进而求得a与b的值。

1

直接法

直接法就是不设出双曲线的标准方程

，而是根据双曲线及相关圆锥曲线的几何性质等建立方程（组）直接求出a与b的值。但是求解时，必须首先明确焦点在哪条坐标轴上。

例1、已知双曲线的离心率为2，焦点是（－4，0），（4，0），则双曲线方程为（ ）

A.

B.

C.

D.

分析：由焦点坐标可以知道双曲线焦点位置及半焦距的长c，由离心率可得到实半轴长a与c的关系。

解析：由条件知双曲线的焦点在x轴上，半焦距c=4，离心率

。所以a=2，

=

，所以双曲线方程为

，故选A。

总结：解答此类题型的关键是要正确判定双曲线焦点的位置（有焦点在x轴或y轴上或两种情况并存的情况），以确定标准方程的类型及所求方程的个数。

2

定义法

此方法主要适用于求动点的轨迹方程，解答时必须首先根据题设条件判定所求点的轨迹为双曲线，然后根据条件中的其他条件确定a、b的值，进而得到双曲线的标准方程，即为所求点的轨迹。

例2、已知动圆M与C1：

，C2：

均外切，则动圆圆心M的轨迹方程是______________。

分析：根据两圆相切的条件可以确定出等式

。由此知动圆圆心M的轨迹为双曲线的一支，然后再根据相关条件求得实半轴长a与虚半轴长b的值。

解析：设动圆M的半径为r，

则

，

。

∴

，

故点M的轨迹是以C1、C2为焦点，

实轴长为1的双曲线的一支，

。

∴

（x<0），

M的轨迹为该双曲线的左支。

总结：本题充分挖掘题设中所给的几何性质，巧妙运用平面几何的知识，得到相关线段间的几何关系，结合圆锥曲线的定义判断所求点的轨迹的类型，这体现了平面几何知识在解析几何中的简化作用。

3

待定系数法

利用待定系数法，就是根据题设条件设出所求的双曲线方程，然后建立方程或方程组求得参数。但在求解过程中，若能将条件与双曲线标准方程特征联系起来，巧妙设出相应的双曲线标准方程或变式方程，则可达到避繁就简的目的。

例3、求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点P（

）和Q（

，6）两点的双曲线方程。

分析：此题若设双曲线的标准方程，需分

两种情况来解，比较繁琐，如果设方程

（mn≠0）来解，则要简单得多。

解析：设双曲线方程为

。

因为点P、Q在双曲线上，

所以

，

解得

，

所求双曲线方程为

。

总结：若已知曲线经过两点，则求椭圆或双曲线标准方程时，都可将方程设为

=1。

而且这种设法，可用来解决焦点不确定的情况。

,