数学函数奇偶性解题技巧(应用函数奇偶性解题)

例1. 已知函数

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)是偶函数,且不恒等于零,则

A. 是奇函数

B. 是偶函数

C. 可能是奇函数也可能是偶函数

D. 不是奇函数也不是偶函数

分析:本题可以利用函数的奇偶性定义来判断,但是过程有些麻烦。如果从函数奇偶性的性质入手,解法就简捷一些。

解析:函数

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,而函数

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是我们熟知的一个特殊的奇函数,由函数奇偶性的性质知两个奇函数的积是偶函数,所以函数是奇函数,应选A。点评小结:记住一些常见结论有助于解题,如奇函数与奇函数的和为奇函数,奇函数与奇函数的积为偶函数,偶函数与偶函数的和为偶函数,偶函数与偶函数的积为偶函数,奇函数与偶函数的积为奇函数。

例2. 已知,,证明

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分析:本题可以利用不等式的方法证明,若转换视角从偶函数图象关于y轴对称的方向入手,则会使解题更具新鲜感,解题方法更加独特。

解析:

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,函数

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均为奇函数,所以函数

为偶函数。

由知定义域为

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,当

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时,

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所以

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而函数为偶函数,所以当

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时,函数

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综上可知。

例3. 实数a=_________时,

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为奇函数。

分析:奇函数图象关于原点对称,而当函数的定义域包含元素“0”时,则一定有

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解析:函数的定义域为R,因为函数为奇函数,所以,即

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,则

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例4. 若为奇函数,则a=_________。

分析:在本题中函数的定义域虽然不包含元素“0”,但是我们可以应用定义域内的其他的元素进行解题。

解析:函数的定义域为,由函数为奇函数知

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,解得

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例5. 定义在

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上的任意函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数之和,如果

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,那么

A.

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B.

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C.

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D.

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分析:任何一个函数都可以表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式,即可以表示为

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(偶函数)与

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(奇函数)的和。

解析:

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,故选C。

例6. 定义在

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上的偶函数,当

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时,单调递减,若

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,试确定m的取值范围。

分析:在本题中对于

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和m来说,它们的正负关系有四种可能性,解决的方法有:①分类讨论,但其解题过程过于复杂;②根据偶函数的性质进行转化,即

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,则可以大大简化解题过程。

解析:由题意,得

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,当时,单调递减,而

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都在区间

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上,所以

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解得

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故m的取值范围是

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▍ 来源:综合网络

▍ 编辑:Wulibang(ID:2820092099)

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