牛顿法求非线性方程的所有根（数学家研究七次方程求根的世纪难题）

法布是芝加哥大学的一位拓扑学家，他最近对德国数学家大卫·希尔伯特在20世纪初预测的影响拓扑领域未来的23个未解数学问题中的第13个很感兴趣。这个问题是关于求解七次多项式方程的问题。

数学家们已经有了解二次、三次、甚至四次方程的有效的方法。这些公式（就像我们熟悉的二次公式一样）涉及代数运算，仅意味着算术和根号(例如平方根)。但指数越高，方程就变得越棘手，求解它几乎是不可能的。希尔伯特的第13个问题是七次方程是否可以用加、减、乘、除的组合加上两个变量的代数函数来求解。

• 1900年，大卫·希尔伯特列出了23个重要的开放问题。从某种意义上说，第十三个13问题既解决了，也没有解决。

答案可能是否定的。但对法布来说，这个问题不仅仅是解一个复杂的代数方程。因为它引发了深层次的问题，多项式有多复杂，我们如何测量它？为了理解多项式的根，人们发明了大量的现代数学。

他和加州大学欧文分校的数学家杰西·沃尔夫森以及哈佛大学的数字理论家马克·金帮共同研究。法布承认，他们还没有解决希尔伯特的第13个问题，可能离答案还差得远。但他们发现了一些实际上已经消失的数学方法，他们探索了这个问题与各种领域之间的联系，包括复分析、拓扑学、数论、表示理论和代数几何。在此过程中，他们已经取得了突破，特别是在将多项式与几何联系起来以及缩小希尔伯特问题可能答案的范围方面。他们的工作还提出了一种使用复杂性度量来分类多项式的方法——类似于与未解决的“P vs. NP”问题相关的复杂性类。

P vs. NP问题是计算机科学中一个尚未解决的主要问题。它问的是，是否每个问题的解决方案既可以快速验证，也可以快速解决。

许多数学家认为这个问题已经解决了。这是因为苏联天才弗拉基米尔·阿诺德和他的导师安德烈·尼古拉耶维奇·柯尔莫戈罗夫在20世纪50年代末发表了解决方案。对大多数数学家来说，阿诺德-柯尔莫戈罗夫的研究揭开了序幕。

但五年前，法布在阿诺德的一篇文章中读到了几句引人入胜的话。阿诺德在文章中回顾了自己的工作和职业生涯。法布惊讶地发现，阿诺德认为希尔伯特的第13个问题是开放的，实际上他花了40年的时间试图解决这个他本应该已经攻克的问题。

造成这个问题混乱的原因很快就清楚了：柯尔莫戈罗夫和阿诺德只解决了这个问题的一个变体。它们的解涉及到连续函数，连续函数包括我们熟悉的正弦、余弦和指数函数等。

但是研究人员对希尔伯特是否对这种方法感兴趣存在分歧。许多数学家认为希尔伯特真正指的是代数函数，而不是连续函数。法布和沃尔夫森一直在研究他们认为希尔伯特想要解决的问题。

法布说，希尔伯特的第十三个问题是一个万花筒。你投入得越多，你就会得到越多的新方向和新想法，它打开了通往整个阵列的大门。

问题的根源

自从数学诞生以来，数学家们就一直在探索多项式。3000多年前雕刻的石碑显示，古巴比伦数学家使用一个公式来解决二次多项式。这个公式是：

告诉我们如何求二次多项式的根，或使表达式为零的x的值。随着时间的推移，数学家们自然想知道，对于高次多项式是否存在这样的公式。

多项式的阶数越高，它们就变得越复杂。意大利学者卡尔达诺在他1545年出版的《Ars Magna》一书中公布了三次和四次多项式的求根公式。

​三次多项式的根可以用以下公式求出：

四次公式更困难。

意大利数学家保罗·鲁菲尼在1799年提出，5次或5次以上的多项式不能用算术和根号来求解。挪威人尼尔斯·亨里克·阿贝尔在1824年证明了这一点。换句话说，不可能有类似的“五次多项式求解公式”。幸运的是，其他的想法出现了，提出了解决高次多项式的方法，这些方法可以通过替换来简化。例如，在1786年，一个名叫厄兰的瑞典律师证明了任何五次多项式方程的形式，ax^5 bx^4 cx^3 dx^2 ex f=0可以重组为px^5 qx 1=0（其中p和q是由a、b、c、d、e和f确定的复数）。

19世纪，威廉·罗文·汉密尔顿接手了厄兰等人没有完成的工作，他证明了，要求任何六次多项式方程的根，只需要一般的算术运算，一些平方根和立方根，以及一个只依赖于两个参数的代数公式。

1975年，哈佛大学的美国代数学家理查德·布劳尔提出了“解决度”(resolvent degree)的概念，它描述了表示某种程度的多项式所需的最低项数。（不到一年之后，阿诺德和日本数论家志村五郎在另一篇论文中介绍了几乎相同的定义。）

在布劳尔的框架中，希尔伯特的第13个问题问我们，七次多项式的可解度是否可能小于3，后来，他又对六次多项式和八次多项式做了类似的猜想。但这些问题也引发了一个更广泛的问题，求多项式根所需的最小参数数是多少？

思维方式

解决这个问题的一种自然方法是考虑多项式是什么样子的。一个多项式可以写成一个函数如f(x)=x^2−3x 1，这个函数可以作图。然后求根就是要求当函数值为0时，曲线与x轴相交的交点横坐标。

高次多项式会产生更复杂的图形。例如，具有三个变量的三次多项式函数，会产生嵌入三维空间的光滑但扭曲的曲面。再一次，通过了解这些图形的位置，数学家们可以更多地了解它们的多项式结构。因此，可以借用代数几何和拓扑学理解多项式。亨利·庞加莱发明了拓扑学，他明确地说他这样做是为了理解代数函数。

希尔伯特本人通过将几何学应用到这个问题中，发现了一个特别显著的联系。到他在1900年列举他的问题时，数学家已经有了大量的技巧来减少多项式，但他们仍然无法取得进展。然而，在1927年，希尔伯特描述了一种新方法。他从找出简化九次多项式的所有可能方法开始，并在这些方法中发现了一系列特殊的三次曲面。

希尔伯特已经知道，每一个光滑的三次曲面（一个由三次多项式定义的扭曲形状）包含了整整27条直线，不管它看起来有多复杂。这些线随着多项式系数的变化而移动。他意识到，如果他知道其中一条线，他就可以化简这个九次多项式来求根。该公式只需要四个参数，这意味着解决程度最多为4。

朝着一个连接的网络

当法布和沃尔夫森把这些点联系起来的时候，他们意识到，人们普遍认为希尔伯特的第13个问题已经被解决了。2020年1月，沃尔夫森发表了一篇论文，通过将希尔伯特关于九次多项式的几何工作扩展为更普遍的理论，重新提出了这一观点。

希尔伯特专注于三次曲面来解决一个变量的九次多项式。那么高阶多项式呢？沃尔夫森认为，要用类似的方法求解这些问题，你可以用一些高维的“超曲面”来代替这个三次曲面，这些“超曲面”是由很多变量中的高次多项式构成的。这些几何还不太清楚，但在过去的几十年里，数学家们已经能够证明超曲面在某些情况下总是有直线的。

• 每一个光滑的三次曲面，无论多么扭曲或卷曲，都恰好包含27条直线。希尔伯特利用这一几何事实构造了一个九次多项式的根公式。杰西·沃尔夫森将这一想法进一步推进，利用高维“超曲面”上的直线来创建更复杂多项式的公式。

希尔伯特利用三次曲面上的直线来求解九次多项式的想法可以推广到这些高维超曲面上的直线。沃尔夫森用这种方法找到了新的、更简单的公式来计算特定程度的多项式。这意味着，即使你无法将其形象化，你也可以通过在多维三次超曲面（在这种情况下是47维）上找到一个平面来“简单地”求解100次多项式。

利用这种新方法，沃尔夫森确定了九次多项式的解析度的希尔伯特值。对于其他多项式度，特别是9度以上的多项式，他的方法缩小了可能的解决度值。

因此，这不是对希尔伯特第13个问题的研究，而是对多项式的一般研究。他们似乎发现了一些相邻的问题，并在这些问题上取得了进展，其中一些问题是长期存在的，他们希望这将有助于弄清最初的问题。他们的工作指出了思考这些数学结构的新方法。

这个通论也表明了希尔伯特关于六次、七次和八次方程的猜想与其他看似不相关的数学领域的问题是等价的。法布说，解决度提供了一种按代数复杂性对这些问题进行分类的方法，类似于在复杂性类中对优化问题进行分组。

但是数学家们怀疑它是否真的能解决关于七次多项式的开放性问题。它在难以想象的维度上讲述了巨大的、未经探索的数学图景。对于麦克马伦来说，缺乏进展本身就很有趣，因为它表明这个问题包含着现代数学无法理解的秘密。我们还没能解决这个根本问题，这意味着有一些黑暗的领域我们还没有涉足。

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