数学考斜率的题（ACT数学真题中渐近线求法详解）

数学是ACT考试的一部分，也是中国考生比较擅长的一块，跟SAT数学部分差不多，难度并不大，但也有一些内容会困扰一部分学生，譬如我们今天要分享的渐近线知识，话不多说，我们用几个例题来看看ACT数学真题中如何用渐近线来求解题目。

渐近线（Asymptote）

首先我们得明确什么是“渐近线”，英文叫“Asymptote”。从定义来看，渐近线是指：曲线上一点M沿曲线无限远离原点时，如果M到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。渐近线可分为：垂直渐近线（Vertical Asymptote）、水平渐近线（Horizontal Asymptote）和斜渐近线（Oblique Asymptote）。而在ACT数学的考试中，一般只考察水平渐近线和垂直渐近线。

下面分别来看这两种渐近线的求法：

垂直渐近线：就是指当x→C时，y→∞。一般来说，满足分母为0的x的值C，就是所求的渐进线。x = C 就是垂直渐进线。

例题1

本题给出的函数式是一个分数形式，众所周知，分数的分母不为0，也就是x永远取不到203x 204=0解出的值，所以解出203x 204=0的值，x=-204/203，即为这个函数的垂直渐近线，答案选D。

本题和上一题有异曲同工之妙，因为是分数形式，即分母不能为0。让分母为0，也就是x=0即为这个函数的垂直渐近线，答案选F。

水平渐近线：就是指在函数f(x)中，x→ ∞或-∞时，y→c，y=c就是f(x)的水平渐近线。所以我们需要考虑的是x无限变大或者变小后，y的变化情况。

例题3

因为考察的是水平渐近线，也就是看随着x无限变大或者变小后，y无限接近于什么数值。现在因为分式上下都有变量，所以先将等式拆分为2x/（x a） b/（x a），变换形式将2x/（x a）上下同时除以x，得到2/(1 a/x)，因为a/x为反比例函数，所以随着x的无限增大或者无限变小，a/x趋近于0，那么2/(1 a/x)趋近于2，也就是2x/（x a）趋近于2。再将b/（x a)上下同除x，得到（b/x）/(1 a/x)。b/x是反比例函数，所以随着x的无限增大或者变小，整个数值趋近于0，b/（x a)整个式子也无限趋近于0。所以整个式子的渐近线是y=2，答案选F。

例题4

本题同理，因为分式上下都有变量，不好判断变化方向和范围，所以先将原式变成2x2/（x2-5x)-18/(x2-5x)，2x2/（x2-5x)分子分母同除以x2得到2/(1-5/x)，因为5/x是反比例函数，随着x的无限变大或者变小，整个式子无限趋近于0，所以整个式子2/(1-5/x)的值无限趋近2。再将18/(x2-5x)分子分母同除以x，得出（18/x）/(x-5)，18/x是反比例函数，随着x无限变大或者变小，18/x趋近于0，因为分子为0，所以（18/x）/(x-5)无限趋近0。因此y=（2x2-18）/(x2-5x)整个式子无限趋近于2，答案选K。

综上所述，我们在算渐近线的时候：

1. 判断其要求的是水平渐近线还是垂直渐近线。

2. 垂直渐近线就是求出使得函数表达式无意义的x取值，即为所求垂直渐近线。

3. 水平渐近线需要简化等式，然后判断随着x的无限变大或变小，y值的变化情况。

捷径技巧：

垂直渐近线让分式分母恒等于0，则得出所求垂直渐近线；水平渐近线则是最高次项的系数比。

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