微积分怎么求导 人人能懂的微积分

小学有各种和速度有关的应用题

比如以下这个，

甲乙两地相距20公里，小张一小时走2公里，小李一小时走3公里，两人同时出发，几个小时后两人相遇?

在这个问题中，假设人的走路速度是均匀的。

在现实生活中，物体的运动速度好多是随时间变化的。

有时候短时间内的速度变化还是非常重要的。

古代骑兵

典型的，强矢之末，其势不能穿鲁缟也

说的就是 箭刚射出去速度大，飞行上几十秒后，速度就降下来，没有劲道了。人们关心的就是这几十秒内的速度变化。

日常生活中，最常见的变速运动，自由落体运动

就是爬到高处，把一个物体放开，物体就往下掉，直到地面，是越掉越快。

猫一米多高，敢往下跳，超过十米，猫也不敢往下跳，猫知道高了，等到地面上时速度太快，就不安全了。

历史上，是越重的东西掉的越快，还是轻重一样的东西掉的一样快，这个速度变化和物体的轻重有关系吗？ 也引起人们的好奇。

伽利略生活的年代，对应到中国，就是明朝末年。

伽利略 在比萨斜塔 上做了 著名的自由落体实验，在塔上把大小轻重不同的两个铁球同时放开，结果 轻重大小不同的两个铁球同时落地。

比萨斜塔

既然物体的运动速度是变化的，每时每刻的速度也非常重要，把这个速度称为瞬时速度。

那现在一个问题就是，如何计算瞬时速度。

比如 在高处，放开一个物体，到一秒时，往下掉了5米，两秒时，一共往下掉了19米，从一秒到两秒时，往下掉了14米。

那正好一秒时的瞬时速度该如何计算呢？

按平均速度来算，一开头到一秒，一共掉了5米 ，平均速度5米每秒。

一秒到2秒，掉了14米，平均速度是14米每秒。

这样计算瞬时速度按前算和按后算，差别比较大。

那一秒时的瞬时速度，该按前算，还是按后算。问题出在哪里？

读者一定想到了，前后一秒这个时间间隔 太大了。应该缩小时间间隔 ，来算平均速度，前后差异就小了。

比如计算，一秒前后 百分之一秒，千分之一秒，万分之一秒 。。。。。 的平均速度，前后差异应该越来越小 ，确实是这样的。

自由落体速度计算公式

现在已经知道，自由落体瞬时速度可以按上边这个公式计算。

一个方程是 距离随时间变化的方程

另一个是 计算速度随时间变化的方程。

代入时间，就可以算出瞬时速度。

反正，瞬时速度就是体现距离随时间的变化率的。

现在 把 瞬时速度 换个 更一般化的名字，导数。

就可以体现其它事物的变化率。

比如三角函数 sin x 只要角度定了，正弦值也就定了。 可以动态理解为 正弦值随着角度变化。导数就是反应这个变化率的。

假定有个物体运动距离随时间变化 的 方式，和 sin x 正弦值随角度变化的方式一样，那sin x 这个函数的 导数值，就是它的瞬时速度。

那真实运动的物体，通过导数可以计算瞬时速度。不是表示运动的函数，计算导数有什么意义? 有什么实际用处？

导数用处有更多，比如可以用来计算函数的极大极小值点。

放烟花

过大年响炮

春节响炮，炮先飞到空中，又掉下来。飞到空中有一个最高点。 到达最高点以前，炮的速度是向上的，到达最高点以后，炮的速度是向下的，那在最高点时，炮的速度由向上变为向下，速度为应该为0。 所以对上下运动的物体，最高最低点总是出现在速度为0的时间点。

把弹簧从自然状态的平衡点按住压缩以后放开，弹簧就会围绕平衡点上下振动。最高点，最低点就是速度为0的点。

弹簧

这个规律对其它函数也是对的，极大值极小值点总是 出现在导数为0的点。

二次函数，抛物线可以通过配方法计算最大值。对三次函数配方法不灵了，现在就可以用导数，计算它的极大值，极小值了。

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