集合论和数理逻辑的区别（集合论与概率论的公理化体系）

集合论是在微积分的营养液中培育出的一颗明珠。19 世纪末，康托尔的朴素集合论，将第三次数学危机推向高潮，随着康托尔悖论、罗素悖论的出现与廓清，公理集合论应时而生，公理集合论使微积分的纷争彻底休止，声势浩大的数学公理化运动宣告开始。

众所周知，数学的研究对象一般都是内涵着某种结构的集合，或者是可以通过集合来定义的事物，因此说，集合论可以充当整个现代数学的基础，在这一点上，数学分析与概率论都不应例外。由于集合论与微积分之间，存在着明显的源和流的关系，又由于勒贝格积分有效地建立了集合论与测度论的联系，进而形成了概率论的公理化体系，因而集合论对概率论渗透，可视为微积分对概率论的一次较有力的推动。数学分析中的积分，主要有黎曼积分与勒贝格积分两种。

黎曼积分在对付性质良好的函数时得心应手，但在遇到级数、多元函数、积分与极限交换次序等较为棘手的问题时，常常夹脚受窘。勒贝格积分出现后，黎曼积分遇到的难题迎刃而解，微积分随之进化到了实变函数论的新阶段。概率论的公理化，就是凭借勒贝格积分的理论，宣告完成的。建立概率论公理化体系的倡议，是由希尔伯特于1900年的国际数学家大会上提出来的，属于著名的23个问题中的第六种。最先涉足该问题的，有庞加莱、波莱尔、伯恩斯坦等人。

历史上人们从实际问题中最先抽象出的概率模型就是现在通称的“ 古典概型” 。利用古典“ 古典概型” 在概率论中占有十分重要的地位，它不仅能解决许多可归入古典概型的问题，而且有助于直观地理解概率论的基本概念。从17世纪中期概率论的产生到18世纪末，概率论主要以计算可归入古典概型的问题为中心发展着。历史上称这个时期为古典概率时期，由于上述框图中数学手续这一步利用组合论的知识，因此古典概率时期也称组合概率时期。

19世纪初拉普拉斯出版了题为《分析概率论》的著作，这是一部继往开来的作品，他不仅总结了他的前辈。特别是他自己以往40年间的研究成果，而且对概率论的研究实行方法上的革命——用数学分析的知识与方法来研究已建立的概率模型（比如在计算几何概率时就需要利用徽积分的知识计算有关的面积或体积，然后反演求出几何概率）。这就为概率论的研究提供了新的手段，从此概率论的发展进入了一个新的历史时期——分析概率时期。

历史推进到20世纪初，概率论的各个领域已经得到大量的成果，而且概率论在其它学科及工程技术上的应用也越来越广泛，但是直到那时为止，关于概率论的一些基本概念——例如事件、概率等—— 却没有明确的定义，这是一个很大的矛盾，这个矛盾不仅导致了“ 贝特朗奇论”那样的怪现象产生，而且也使许多人对概率的客观含义甚至概率论结论的可应用性产生了怀疑，从而大大地妨碍了概率论的进一步发展。

人们通过对事件与概率两个概念的长期研究，发现事件的运算与集合运算相似，概率与测度有相似的性质，这就启发人们作出了如下的对应：

概率空间←→标准测度空间

基本事件←→空间中的点

事件←→可测集合

必然事件←→全空间

不可能事件←→空集

差不多必然←→几乎处处

随机变量←→有限的数值可测函数

期望E←→J( 积分)

这个对应使概率论中产生的原始概念利用测度论的概念给以严格表述，从而将有关概率的原象关系结构系统转化为有关测度的映象关系结构系统。然后利用测度论的知识求其映象目标，最后通过反演确定原象目标。由于定映手续的变化（由数学分析转为测度论），概率论的发展跨入了现代概率时期。

1933年，苏联著名的数学家柯尔莫哥洛夫建立了概率论的公理化体系，使概率成为一门逻辑严谨的数学分支。

综上所述，按照利用RMI 方法解决问题时所施行的变革，概率论的发展过程可分为三个历史时期：组合概率时期、分析概率时期、现代概率时期。

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