如何判断一个较大的数是合数（如何快速判断一个较大正整数是质数还是合数）

如何快速判断一个较大正整数是质数还是合数？

如果是判断一个100以内或比较小的正整数是不是质数，我们只需要运用比较熟悉的2，3，5，7，11，13这些质数去除这个数，如果都不能整除，则该数就是质数，如果能够被其中某个质数整除，则这个数就是合数。但对于一个较大的整数判断它是合数还是质数，如何快速作出判断呢？或者说从最小的质数2开始，要判断到那个质数终止呢？

比如，899是合数还是质数？

我们从2开始经过验算已经确认它不能被2，3，3，7，11，13，17，19整除了，至此是否就可以下结论它是质数呢？显然是不行的，再继续验算下去，它能被29整除，即899÷29=31，所以899是合数。

显然，判断一个数是不是质数，依次从最小的质数2开始依次验算它否被这些质数整除，但问题是如果前面连续验算了许多个仍然没有出现过整除，究竟要验算到那个质数为止呢？是不是要验算到这个数本身才能得出为质数的结论？否则要验算到能否被多大的质数整除才能作出判断是质数呢？

下面先了解一下质数的一些特征：

假设所判断的整数为N，

当N<2×3时，如果N不是2的倍数，则N是质数；

当N<3×5时，如果N不是2或3的倍数，则N是质数；

当N<5×7时，如果N不是2或3或5的倍数，则N是质数；

当N<7×11时，如果N不是2或3或5或7的倍数，则N是质数；

当N<11×13时，如果N不是2或3或5或7或11的倍数，则N是质数；

一般地，当N<a×b(a，b为连续质数，且a<b)时，如果N不是2或3或5，…或a这些连续质数的倍数，则N是质数；

因此，判断一个较大的整数N是不是质数，其做法是：找到两个连续的质数a，b(a<b)，使得N最接近于ab，且N<ab，然后一一验证N是否能被所有小于a的质数整除即可。

显然，对于较大的整数N，要找到两个连续的质数a、b，使得N<ab还是有点困难和麻烦的。注意到a<b，而a、b是连续的质数，所以 a^²<N<ab，即a<√N<√ab，

所以可用[√N]（[√N]表示不超过√N的最大整数）替代a。

例如，判断2011是质数还是合数？

因为[√2011]=44,所以要判断2011是不是质数，只需要验证2011能否被小于44的某个质数整除就可以了，完全没必要验证到2011.

也就是说，最多只需要判断2011能否被43，41，37，31，29，23，19，17，13，11，7，5，3，2这些数中的某一个整除即可。

由于2011都不能被这些质数整除，所以2011是质数。