高数无穷级数求和常用公式（为什么全体自然数之和）

大一的学生上高数的时候，往往会被老师告知，当s<=1的时候，∑1/n^s是发散的，这个结论在s为实数域是没错的，但是一旦把s的范围解析延拓到复数域，那么除了s=1以外，s在整个复数域都是收敛的。也就是说，全体自然数之和在s解析延拓后是收敛的，那么究竟等于多少呢？黎曼告诉我们——全体自然数之和=-1/12！！！（纳尼），许多同学或许感觉不可思议，的确，这个式子违背了我们的直觉，正数之和为什么会等于负数呢？下面小编就用最简单的方法证明一下为什么全体自然数之和等于-1/12。

我们重点来看一下最后推出的方程

重要的解析延拓方程

我们把s=2代入上面的式子，由于ζ（s）=∑1/n^s，因此∑n=2（2π）^-2*1!*cosπ*∑1/n^2,我们知道cosπ=-1，∑1/n^2=π^2/6，因此求得∑n=-1/12，也就是全体自然数之和等于-1/12！是不是很神奇呀。但是好奇心比较重的小伙伴可能会问，还有什么发散级数解析延拓后能够求和吗？答案是大部分发散级数在解析延拓后都能够求和。

关于发散级数求和主要有两种方法：zeta和borel求和，我重点来讲一下zeta求和，因为简单直观，下面我先给出zeta求和最重要的两个公式：

非交错级数求和

交错级数求和

有了这两个公式，我们就可以随心所欲地对一些简单的发散级数进行求和了：

简单发散级数求和

borel求和如下：

运用borel求和我们可以得到下面更复杂的发散级数求和的式子

复杂发散级数求和

看完本篇文章的读者千万别以为发散级数真的能够求出它的和，因为只有在把定义域扩大到超出实数域才有可能得到发散级数的和，而且这些和是不可以随意进行叠加计算的，当你把两个和加起来得到一个新的和，你就已经犯了知识性错误，因为每个级数解析延拓的本质是要把点连成曲线按原来的趋势画下去，当你加入了一个新的级数，那你就已经破坏了这个曲线的趋势了。那么这些发散和有啥用呢？最近国外物理学家就发现了发散和能够用来解释电子运动和宇宙弦等复杂的物理问题，小编相信，随着人类深入研究，发散和终究能够被运用到应用数学和实践物理当中。