几何图形及动点问题（两句话解决中招几何图形的折叠与动点问题）

作者：李臣 王芳

每年的毕业季，作为数学教师的我们都要给学生们讲解《重难题型精讲——几何图形的折叠与动点问题》，教师很多时候依赖所选的资料书，受限于资料书，很难形成自己对该问题的深刻认知与辨识，学生也很难做到举一反三的理解该问题，使得学生在中招考试中直接放弃该问题的解答，这造成了教师的讲解精力投放在这个方面过多，却不能很好的让学生学会该问题的解决方法。

基于以上的发现与思考，我给折叠与动点问题归纳为两大类——单动点与双动点类，所谓的单动点类问题是题意中翻折过程中对称轴的两个端点一个为定点一个为动点；双动点类问题就是翻折过程中的对称轴的两个端点均为动点。详细分类方式如下表

在查阅近十年的河南中招考试真题发现该问题考察的比较多，统计如下表：

唯独在2011年与2019年没有在第15题考察该类问题，而是在其他题型上加强了该类问题的考察，可以说是十年九考。

为了使中招复习讲评课更加具有针对性与效率，我们研究了快速解决该问题的顺口溜方法，下面我们就以习题讲解的方式加以阐述。

（2021年河南中考）15.小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在RT△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1。第一步：在AB边上找一点D，讲纸片沿CD折叠，点A落在A’处。如图2：将纸片沿CA’折叠，点D落在D’处。如图3：当点D’恰好落在直角三角形纸片的边上时，线段A’D’的长为 。

【单动点】解题技巧：一定一动一线长，画个圆圈来帮忙！

①如解析图1所示，依据题意看找定点与动点；知题干“点A落在A’处”与“点D落在D’处”知道动点为点A与点D，在三角形ADC沿DC折叠成三角形A’DC，则发现C点的位置未发生改变，所以点C为定点。

明确：动点为点A与点D，但动点A对该题的解题前期无意义，所以放弃动点A，重点考虑动点D。定点为点C。

②连接点C与点D，以定点C为圆心，线段CD长为半径画圆（这个圆周可以看成动点D的运动轨迹），圆与题意要求的边AB或边BC有交点，则交点即为D’的所在。如解析图2所示；

③依据点D’的位置可以重新构图，如解析图2与3所示。

【解】①如解析图2所示；当点D落在D’处时，可知D’在线段AB上

（2019年新乡模拟第15题）如图，在Rt���ABC中，∠C=90°，点D、E分别是BC、AB上的一个动点，连接DE。将点B沿直线DE折叠，点B的对应点为F，若AC=3，BC=4，当点F落在AC的三等分点上时，BD的长为 。

【双动点】解题技巧一：对称两点连线找中点，过中点坐所连线段的垂直平分线，垂线与原三角形的对应边的交点即为双动点位置。

①依题意中的“点D、E分别是BC、AB上的一个动点”，知该题是双动点问题。而为了确定双动点的位置，依据做题技巧如下：

②依据做题技巧找对应点或是对称点；依据题意中“点B的对应点为F且当点F落在AC的三等分点上时”，可知对称点为点B与点F,并找出对应边AC的三等分点FI、F2。如解析图1所示。

连接对称点B与FI，并找出线段BF的中点M1，过中点M1作线段BF的垂线，该垂线与原直角三角形的对应边AB、AC的交点即为动点E1点与D1点。如解析图2所示；

连接对称点B与F2，并找出线段BF的中点M2，过中点M2作线段BF的垂线，该垂线与原直角三角形的对应边AB、AC的交点即为动点E2点与D2点。如解析图3所示；

【解】①如解析图2所示；当△BE1D1沿线段E1D1折叠使得点B落在线段AC的三等分点F1处时，可知△BE1D1≌△F1E1D1，设BD1=X且AC=3,BC=4

∴BD1=D1F1=X，F1C:AC=2:3,则F1C=2，D1C=BC-BD1=4-X

在Rt△F1CD1中可知D1C2 F1C2=F1D12

∴（4-X）2 22=X2，解得：X=2/5

②如解析图3所示；当当△BE2D2沿线段E2D2折叠使得点B落在线段AC的三等分点F2处时，可知△BE2D2≌△F2E2D2，设BD2=X且AC=3,BC=4

∴BD2=D2F2=X，F2C:AC=1:3,则F1C=2，D2C=BC-BD2=4-X

在Rt△F1CD1中可知D2C2 F2C2=F2D22

∴（4-X）2 12=X2，解得：X=17/8

∴BE的长为17/8或2/5.