动能定理满足的条件（关于动能定理的修正）

目前关于动能定理是这样表述的：“合外力对物体所做的功等于物体动能的变化。”

这个表述是有问题的。

正确的表述应该是：“动能定理：合外力对物体所做的功等于物体在合外力方向上的动能的变化。”

即合外力对物体所做的功等于物体在合外力方向上的末动能减去物体在合外力方向上的初动能。

用公式表示为

W（合）=E（末）－E（初）

具体分三种情况。

以合外力方向为正方向，m为物体的质量，Vt是物体的末速度在合外力方向上的速度分量，Vo是物体的初速度在合外力方向上的速度分量。

①当Vt、Vo的方向均与合外力的方向一致时，公式可表示为

W（合）= （1/2）·m ·Vt^2

－（1/2）·m·Vo^2

②当Vt的方向均与合外力的方向一致，Vo的方向与合外力的方向相反时，公式可表示为

W（合）= （1/2）·m ·Vt^2

－［－（1/2）·m·Vo^2］

③当Vt、Vo的方向均与合外力的方向相反时，公式可表示为

W（合）= －（1/2）·m ·Vt^2

－［－（1/2）·m·Vo^2］

教科书上说“能量只有大小，没有方向。”

我认为这种说法是错误的，能量既有大小，又有方向，是一个矢量，能量的方向与运动速度的方向相同，求和时满足矢量的平行四边形法则。

教科书上说能量不会是负值，我认为能量可以为负值。

如一辆质量10kg的车以3 m/s的速度向正前方行驶,它在正前方的方向上产生的动能是45J（焦耳）。如果在车辆前方有一个静止物体A，物体A就会受到车辆的撞击。由于车辆有动能，物体A就会受到这种动能的冲击，就会损坏。 如果在车辆的正后方有一个静止的物体B，物体B就不会受到车辆的撞击，即车辆的动能不会对它产生影响。所以能量是有方向的。物体能量的方向与物体的运动速度的方向一致。

详细解析：

如何求一个物体受到合外力作用后动能的变化量呢？

先求出这个物体在合外力方向上的末速度，末速度求出来了，物体的质量乘以末速度等于物体的末动能；再求出物体在合外力方向上的初速度，初速度求出来了，物体的质量乘以初速度等于物体的初动能；物体动能的增量等于末动能减去初动能。

即：合外力对物体做的功等于物体在合外力方向上的末动能减去物体在合外力方向上的初动能。

特别说明：

当初速度或末速度的方向与合外力的方向之间的夹角大于90度，小于或等于180度时，初速度或末速度在合外力方向上的速度分量为负值。

下面通过几个例题来解释说明一下。

第1 题：如图（1 ），一个小球A，质量是1千克（1kg），初速度Vo是3米/秒（3m/s）。此时受到一个恒力F的撞击，力F的方向与小球初速度Vo的方向相同，作用时间极短，小球的末速度Vt是5米/秒（5m/s），那么小球在力F方向上的动能是如何变化的？

图（1） 根据动能定理得：

W（合）=（ 1/2）m ·Vt^2 －（1/2）·m·Vo^2

=（1/2）×1kg×5（m/s）^2

－（1/2 ）×1kg×3（m/s）^2

=22.5J －4.5J

=18J

小球在力F方向上的动能增加了18焦耳。

第2题：如图（2 ）：

一个小球A，质量是1千克（1kg），有一个向右方向的初速度Vo，Vo等于3米/秒（3m/s）。此时受到一个斜上方方向的恒力F的撞击，力F的方向与Vo的方向成60º夹角，小球的末速度是Vt，Vt等于3√3 米/秒。力F与末速度Vt的夹角是30度。

问小球的动能在力F方向上是如何变化的？

解：由于Vt的方向与Vo的方向并不一致，并且Vt、Vo的方向不与力F的方向一致，所以在求力F方向上能量的变化时不能用末速度方向上的动能减去初速度方向上的动能。

应该先求出末速度在合外力方向上速度分量；再求出初速度在合外力方向上的速度分量。

物体的末速度在合外力方向上的速度分量是

√3/2 × 3√3 = 4.5m/s 。

然后将初速度 3米/秒进行分解，得到初速度在力F方向上的速度分量是1.5米/秒。

W（合）= （1/2）·m ·Vt^2

－［（1/2）·m·Vo^2］

=（1/2）×1kg×（4.5m/s）^2

－（1/2）×1kg×（1.5m/s）^2

=（1/2 ）×20.25 J －（1/2 ）×2.25 J

= 9 J

所以 小球的动能在力F方向上增加了9J 。

第3题：如图（3 ）：

图（3 ）一个小球A，质量是1千克（1kg），有一个水平向右方向的初速度Vo，Vo等于3米/秒（3m/s）。此时受到一个竖直向上方向的恒力F的撞击，力F的方向与Vo的方向成90º夹角。小球末速度Vt是3√2米/秒。末速度Vt 与初速度Vo的夹角是45度。

求小球在力F方向上的动能变化。

解：末速度Vt在力F方向上的速度分量等于

3 m/s 。

力F的作用方向与初速Vo垂直，则Vo在力F方向上的速度分量是0 。所以小球在力F方向上的初动能为0 。

所以小球的动能变化是

W（合）= （1/2）m ·Vt^2

－（1/2）·m·Vo^2

=（1/2）×1kg×（3m/s）^2 － 0

=4.5 J

第4题：如图（4）

一个小球A，质量是1千克（1kg），有一个向右方向的初速度Vo，Vo等于3米/秒（3m/s）。此时受到一个向左上方方向的恒力F的撞击，力F的方向与Vo的方向成120º夹角，与末速度的夹角是60度。末速度等于3 m/s

求小球在力F方向上的动能变化。

解：先求出末速度在力F方向上的速度分量，等于1.5m/s.

初速度在力F方向上的速度分量是一个负值，等于 －1.5 m/s ，

所以小球在力F方向上的初动能是负值：

= －（1/2） × m × Vo^2

=－（1/2 ）× 1kg × （－1.5m/s）^2

=－1.125 J

小球在力F方向上的动能变化是：

W（合）= （1/2）·m ·Vt^2

－［－（1/2）·m·Vo^2］

=（1/2 ）× 1kg × （1.5m/s）^2

－［－（1/2 ）× 1kg × （－1.5m/s）^2］

=1.125 J －（－1.125 J）

=1.125 J 1.125 J

=2.25 J

第5题：如图（5）

一个小球A，质量是1千克（1kg），有一个向右方向的初速度Vo，Vo等于3米/秒（3m/s）。此时受到一个向左方向的恒力F的撞击，力F的方向与初速度方向成180度。末速度是2 m/s，方向与力F方向相同。 求小球在力F方向上的动能变化。

解：末速度与力F方向相同，在力F方向上的速度分量就是它本身，等于2m/s 。 小球在力F方向上的末动能等于

（1/2） × m × Vt^2

=（1/2） × 1kg × （2m/s）^2

= 2 J

初速度Vo在合力F方向上的速度分量是负值，等于 －3 m/s，所以小球在力F方向上的初动能= －（1/2 ）× m × Vo^2

=－（1/2） × 1kg × （－3m/s）^2

=－4.5 J

小球在力F方向上的动能变化是：

W（合）= （1/2）·m ·Vt^2

－［－（1/2）·m·Vo^2］

= 2 J －（－4.5 J ）

= 6.5 J

第6题：如图（6）

一个小球A，质量是1千克（1kg），有一个向右方向的初速度Vo，Vo等于6米/秒（6m/s）。此时受到一个向左方向的恒力F的撞击，力F的方向与初速度方向成180度。撞击后，小球仍然向右运动，末速度Vt是3 m/s，方向当然与力F方向相反。 求小球在力F方向上的动能变化。

解析：小球的初速度是向右的6m／s，被力F作用后，速度仍然向右，只是速度变小了变为3m／s，那它向右的动能肯定减小啊。那小球在向右的方向上的能量变化就是一个负值啊。

如果能量不能为负，请问“小球向右方向上的动能变化量如何表示？”

所以能量可以为负值！！！！！

解答题目:

小球的初速度与末速度都与力F的方向相反。所以初速度与末速度在力F的方向上的速度分量均为负值，在力F的方向上的能量也均为负值。

末速度Vt在合力F方向上的速度分量是负值，等于 －3 m/s，

所以小球在力F方向上的末动能

=－（1/2 ）× m × Vt^2

=－（1/2 ）× 1kg × （－3m/s）^2

=－4.5 J

初速度Vo在合力F方向上的速度分量是负值，等于 －6m/s，所以小球在力F方向上的初动能

=－（1/2 ）× m × Vo^2

=－（1/2 ）× 1kg × （－6m/s）^2

=－18J

小球在力F方向上的动能变化是：

W（合）= －（1/2）·m ·Vt^2

－［－（1/2）·m·Vo^2］

= （－4.5J ）－（－18J ）

=（－4.5J ） 18J

= 13.5 J

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