考研函数极限的七种趋向方式定义(考研数学函数极限的存在定理海涅定理)

海涅定理是用来证明函数极限存在的一个充分必要条件,它是根据数列极限存在与函数极限的关系发展而来

海涅定理:设f在u°(x。;)上有定义,则存在的充要条件为:对任何含于

u°(x。;)且以x。为极限的数列{},极限都存在且相等。

接下来我们一起分析一下这个定理。

假设函数f的图形如图所示

考研函数极限的七种趋向方式定义(考研数学函数极限的存在定理海涅定理)(1)

函数图像

在点的周围我们可以找到无穷多个数列,,……而且这些数列都以为极限。因为在实数轴上,实数轴上的每一点都代表一个实数,每个实数周围都密密麻麻分布着无穷多个实数,而这些实数可以组成无限多个以为极限的数列。

当n∞时,有

f()f( )

f()f( )

……

所以,对任何含于u°(x。;)且以x。为极限的数列{},极限都存在且相等。

这也就意味着存在。

最后我们根据上面的分析来证明一下这个定理。

证:首先我们来证明定理的必要性,我们现在已经知道存在

设=A,则

根据函数极限的定义可得 对>0,>0,当0<<时,有

<ε

于是在()内会存在无穷多个以为极限的数列(数列极限的致密性定理)

所以,对任何含于u°(x。;)且以x。为极限的数列{},极限都存在且相等。

最后我们来证明这个定理的充分性,我们用反证法。

假设≠A,则

根据函数极限的定义,有

>0 ,对δ>0,当0< <δ时,有

现在我们取<δ

令=、=、、……、,则

数列的极限为,再根据的任意性

从而对于任意一个以为极限的数列,有≠A

这与已知条件“对任何含于u°(x。;)且以x。为极限的数列{},极限都存在且相等。”相矛盾。

所以,存在

,

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