考研函数极限的七种趋向方式定义（考研数学函数极限的存在定理海涅定理）

海涅定理是用来证明函数极限存在的一个充分必要条件，它是根据数列极限存在与函数极限的关系发展而来

海涅定理：设f在u°(x。；)上有定义，则存在的充要条件为：对任何含于

u°(x。；)且以x。为极限的数列{}，极限都存在且相等。

接下来我们一起分析一下这个定理。

假设函数f的图形如图所示

函数图像

在点的周围我们可以找到无穷多个数列,,……而且这些数列都以为极限。因为在实数轴上，实数轴上的每一点都代表一个实数，每个实数周围都密密麻麻分布着无穷多个实数，而这些实数可以组成无限多个以为极限的数列。

当n∞时，有

f()f( )

f()f( )

……

所以，对任何含于u°(x。；)且以x。为极限的数列{}，极限都存在且相等。

这也就意味着存在。

最后我们根据上面的分析来证明一下这个定理。

证：首先我们来证明定理的必要性，我们现在已经知道存在

设=A，则

根据函数极限的定义可得 对＞0，＞0，当0＜＜时，有

＜ε

于是在（）内会存在无穷多个以为极限的数列（数列极限的致密性定理）

所以，对任何含于u°(x。；)且以x。为极限的数列{}，极限都存在且相等。

最后我们来证明这个定理的充分性，我们用反证法。

假设≠A，则

根据函数极限的定义，有

＞0 ，对δ＞0，当0＜ ＜δ时，有

≥

现在我们取＜δ

令=、＝、、……、，则

数列的极限为，再根据的任意性

从而对于任意一个以为极限的数列，有≠A

这与已知条件“对任何含于u°(x。；)且以x。为极限的数列{}，极限都存在且相等。”相矛盾。

所以，存在