如何寻找一串数字的规律 给一串数字找规律

你是否被这样的问题困扰过?

如何寻找一串数字的规律 给一串数字找规律(1)

在小学阶段,每个人应该都做过这种题,给一串数字找规律。

长大以后,如果你参加过一些招聘考试,也应该做过这种题,给一串数字找规律。

如何寻找一串数字的规律 给一串数字找规律(2)

给一串数字找规律,这应该算是一个经久不衰的问题。但是,正如标题所写,面对这种问题,但凡思考一秒钟,都对不起你的智商。

如何寻找一串数字的规律 给一串数字找规律(3)

一个有点变态的例子

先来看一串数字:

1,2,3,4

下一个数字是多少?

不必思考,我直接告诉你答案:不管你填什么数字,都有规律!

这可不是随口一说,而是可以严格证明的。

我相信大部分读者都对严格证明不感兴趣,所以我把证明过程放到了最后,现在先来看一个有点变态的例子。

回到上面那一串数字:

1,2,3,4

下一个数字是5吗?

可以是5,但如果是5,那就一点都不变态,所以我在这里选108。

1,2,3,4,108

这有什么规律?

一些读者可能会觉得这还是太简单了,所以我还是让它更变态一点比较好,让再下一个数字等于-7。

1,2,3,4,108,-7

现在应该有点意思了,那么这一串数字有什么规律?

各位读者可以先思考一下。

如何寻找一串数字的规律 给一串数字找规律(4)

1,2,3,4,108,-7

这其实是一个数列,我们通常说的“找规律”其实就是找出数列的通项公式

比如:2,4,8,16,32,……

这个数列的通项公式就是:

如何寻找一串数字的规律 给一串数字找规律(5)

也可以做成表格:

A1

A2

A3

A4

A5

2

4

8

16

32

数列的通项公式就像函数的解析式一样,只不过数列的通项公式的自变量只能取离散的数字,而函数的解析式的自变量可以连续取值。

所以函数的研究方法可以套用到数列上。

很多函数的解析式可以用泰勒级数表示,在这里不需要知道泰勒级数究竟是什么,只需要知道:

函数的解析式可以写成“多项式”的形式。

比如:

如何寻找一串数字的规律 给一串数字找规律(6)

如何寻找一串数字的规律 给一串数字找规律(7)

套用到数列上,可以把数列的通项公式假设成多项式

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对于这个具体的数列:

1,2,3,4,108,-7

可以列出一个表格:

x

1

2

3

4

5

6

y

1

2

3

4

108

-7

根据这前六项,以及之前写出的多项式,可以得到一个方程组

如何寻找一串数字的规律 给一串数字找规律(9)

六个独立方程,六个未知数,解方程组就能求出多项式的系数,写出这个数列的通项公式。

文章末尾会谈论这个方程组的简单求解方法,在这里我直接给出结果:

如何寻找一串数字的规律 给一串数字找规律(10)

头条上不能编辑太长的公式,我把一个公式分成两段,大家凑合着看。

1,2,3,4,108,-7

背后的规律就是上面那个通项公式。

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谈一谈线性代数

现在也该说一说证明过程了,怎么确保列出的方程组一定有解?

有人可能会问:

如果列出的方程组根本就没有解,那不就找不到规律了?

可以用线性代数看待这个问题,把上文列出的方程组写成矩阵的形式:

如何寻找一串数字的规律 给一串数字找规律(12)

如果方程组有解,那么系数矩阵就有逆矩阵。系数矩阵也就是这个矩阵:

如何寻找一串数字的规律 给一串数字找规律(13)

大家应该可以发现,不管是怎样的一串数字,列出的系数矩阵都是一个结构。这种矩阵有专门的名字:范德蒙矩阵

学过线性代数的读者应该知道,一个矩阵有逆矩阵的条件是:行列式不为零。

范德蒙矩阵的行列式就是范德蒙行列式,范德蒙行列式有简单的计算方法,一般的范德蒙行列式是:

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如果用det表示行列式,范德蒙行列式的计算方法是:

如何寻找一串数字的规律 给一串数字找规律(15)

上文中的那个具体的系数矩阵,对应到上面的公式里就是:

x1

x2

x3

x4

x5

x6

1

2

3

4

5

6

大家应该很容易看出来,不管用一串数字列出多少个方程,上文提到的系数矩阵的行列式一定不为零,所以方程组一定有解。

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谈一谈Excel

不知道有没有读者试过求解上文中的方程组,用人脑解那种方程组确实不容易,而且很容易算错。

把繁琐的计算交给电脑,才是明智的选择。

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用X表示系数矩阵,a表示多项式系数组成的向量,y表示所给数字组成的向量,上面这个方程组可以简写成:

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只需要求出系数矩阵的逆矩阵,在与所给数字组成的向量相乘,就解出了多项式的系数:

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可以用Excel快速求出一个矩阵的逆矩阵,首先需要把矩阵输入Excel:

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再选中一个与输入的矩阵的行数、列数都相同的区域:

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插入下图中的函数:

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选中输入的矩阵:

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再按“ctrl shift enter”键,就能得到逆矩阵:

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上图中的逆矩阵元素是用小数表达的,如果想看得更直观,可以把“单元格格式”设置成“分数”:

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再输入所给数字组成的向量,选中与向量相同列数的区域:

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插入下图中的函数:

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选中矩阵与向量:

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再按“ctrl shift enter”键,就能得到多项式系数组成的向量:

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如果想看得更直观,可以把“单元格格式”设置成“分数”:

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我相信大家已经理解,给一串数字找规律,但凡思考一秒钟,都对不起你的智商。

正是因为随便填几个数,都有规律。导致给一串数字找规律,往往毫无意义。

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