如何寻找一串数字的规律 给一串数字找规律

你是否被这样的问题困扰过？

在小学阶段，每个人应该都做过这种题，给一串数字找规律。

长大以后，如果你参加过一些招聘考试，也应该做过这种题，给一串数字找规律。

给一串数字找规律，这应该算是一个经久不衰的问题。但是，正如标题所写，面对这种问题，但凡思考一秒钟，都对不起你的智商。

一个有点变态的例子

先来看一串数字：

1，2，3，4

下一个数字是多少？

不必思考，我直接告诉你答案：不管你填什么数字，都有规律！

这可不是随口一说，而是可以严格证明的。

我相信大部分读者都对严格证明不感兴趣，所以我把证明过程放到了最后，现在先来看一个有点变态的例子。

回到上面那一串数字：

1，2，3，4

下一个数字是5吗？

可以是5，但如果是5，那就一点都不变态，所以我在这里选108。

1，2，3，4，108

这有什么规律？

一些读者可能会觉得这还是太简单了，所以我还是让它更变态一点比较好，让再下一个数字等于-7。

1，2，3，4，108，-7

现在应该有点意思了，那么这一串数字有什么规律？

各位读者可以先思考一下。

1，2，3，4，108，-7

这其实是一个数列，我们通常说的“找规律”其实就是找出数列的通项公式。

比如：2，4，8，16，32，……

这个数列的通项公式就是：

也可以做成表格：

A1	A2	A3	A4	A5
2	4	8	16	32

数列的通项公式就像函数的解析式一样，只不过数列的通项公式的自变量只能取离散的数字，而函数的解析式的自变量可以连续取值。

所以函数的研究方法可以套用到数列上。

很多函数的解析式可以用泰勒级数表示，在这里不需要知道泰勒级数究竟是什么，只需要知道：

函数的解析式可以写成“多项式”的形式。

比如：

套用到数列上，可以把数列的通项公式假设成多项式：

对于这个具体的数列：

1，2，3，4，108，-7

可以列出一个表格：

x	1	2	3	4	5	6
y	1	2	3	4	108	-7

根据这前六项，以及之前写出的多项式，可以得到一个方程组：

六个独立方程，六个未知数，解方程组就能求出多项式的系数，写出这个数列的通项公式。

文章末尾会谈论这个方程组的简单求解方法，在这里我直接给出结果：

头条上不能编辑太长的公式，我把一个公式分成两段，大家凑合着看。

1，2，3，4，108，-7

背后的规律就是上面那个通项公式。

谈一谈线性代数

现在也该说一说证明过程了，怎么确保列出的方程组一定有解？

有人可能会问：

如果列出的方程组根本就没有解，那不就找不到规律了？

可以用线性代数看待这个问题，把上文列出的方程组写成矩阵的形式:

如果方程组有解，那么系数矩阵就有逆矩阵。系数矩阵也就是这个矩阵：

大家应该可以发现，不管是怎样的一串数字，列出的系数矩阵都是一个结构。这种矩阵有专门的名字：范德蒙矩阵。

学过线性代数的读者应该知道，一个矩阵有逆矩阵的条件是：行列式不为零。

范德蒙矩阵的行列式就是范德蒙行列式，范德蒙行列式有简单的计算方法，一般的范德蒙行列式是：

如果用det表示行列式，范德蒙行列式的计算方法是：

上文中的那个具体的系数矩阵，对应到上面的公式里就是：

x1	x2	x3	x4	x5	x6
1	2	3	4	5	6

大家应该很容易看出来，不管用一串数字列出多少个方程，上文提到的系数矩阵的行列式一定不为零，所以方程组一定有解。

谈一谈Excel

不知道有没有读者试过求解上文中的方程组，用人脑解那种方程组确实不容易，而且很容易算错。

把繁琐的计算交给电脑，才是明智的选择。

用X表示系数矩阵，a表示多项式系数组成的向量，y表示所给数字组成的向量，上面这个方程组可以简写成：

只需要求出系数矩阵的逆矩阵，在与所给数字组成的向量相乘，就解出了多项式的系数：

可以用Excel快速求出一个矩阵的逆矩阵，首先需要把矩阵输入Excel：

再选中一个与输入的矩阵的行数、列数都相同的区域：

插入下图中的函数：

选中输入的矩阵：

再按“ctrl shift enter”键，就能得到逆矩阵：

上图中的逆矩阵元素是用小数表达的，如果想看得更直观，可以把“单元格格式”设置成“分数”：

再输入所给数字组成的向量，选中与向量相同列数的区域：

插入下图中的函数：

选中矩阵与向量：

再按“ctrl shift enter”键，就能得到多项式系数组成的向量：

如果想看得更直观，可以把“单元格格式”设置成“分数”：

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我相信大家已经理解，给一串数字找规律，但凡思考一秒钟，都对不起你的智商。

正是因为随便填几个数，都有规律。导致给一串数字找规律，往往毫无意义。

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