图解微积分极限（从割圆术到牛顿莱布尼茨公式-微积分发展史略观）

自发明解析几何以后，变量就登上了数学的舞台。函数概念提出以后，描述物体运动规律便有了相应的数学方法。然而在处理变量规律这个问题上，当时的科学家并没有找到强有力的方法，这极大地阻碍了科学研究。然而自牛顿和莱布尼茨两位科学大师创立微积分这一强有力的工具之后，这些问题都迎刃而解，一场属于数学的盛宴便开始了。

背景

关于“无穷”的思想，无论在古代西方还是中国，都有萌芽。“割圆术”就是这一思想的提现，阿基米德利用圆内正96边形得到圆周率π的值在223/71到22/7之间，而我国魏晋时期的著名数学家刘徽更是以惊人的圆内正3072边形将π的值精确到了3.1416。这些方法都体现了“无限分割之后再无限求和”的微积分数学思想。然而限于低下的生产实践水平，这些思想难以进一步发展完善。

时间很快到了16世纪，社会生产实践活动水平已经上了一个新台阶。天文学和物理学的快速发展带来了许多数学问题，例如如何求时候瞬时速度和加速度，如何计算曲边三角形的面积。进入17世纪之后，科学家们的注意力逐渐聚焦到了四大类问题上:1.已知物体的位移-时间关系函数，求其在任意时刻的速度与加速度；反过来，已知物体的加速度-时间函数，求速度与位移。2.求已知曲线的切线。3.求已知函数的最大值与最小值。4.求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心位置、物体（比如行星）作用于另一物体上的引力等。在这些问题的探索中，笛卡尔、巴罗(牛顿在剑桥大学的老师，微积分早期先驱之一)、开普勒、卡瓦列里(意大利数学家，“祖暅原理”的西方发现者)等科学家做出了开创性贡献。然而仍然没有形成完整的理论。在大量知识和方法的积累下，一门崭新的学科已经呼之欲出了。

根据记载，牛顿对微积分问题的研究开始于1664年，此时他十分认真地研读了笛卡尔的巨著《几何学》，并且对书中求曲线切线的方法十分着迷，求知欲旺盛的牛顿迫切寻求一种更有效更一般的方法来解决这一问题。

思索了两年之后，在1666年10月，牛顿撰写了数学史上第一遍微积分论文《流数短论》，历史性地提出了“流数”这一概念。牛顿将“流数”对应与速度，即位移函数对时间的微商，然后又以速度对时间的微商来作为加速度。深思熟虑三年之后，牛顿又完成了第二篇论文《运用无穷多项方程的分析学》，此文给出了因变量对自变量求瞬时变化率的一般方法，而且还证明了面积可以通过求变化率的逆过程得到，这实际上已经非常接近微积分基本定理(即牛顿-莱布尼茨公式)。1671年，牛顿在第三篇论文《流数术与无穷级数》中完善了第一篇论文的内容，使得论述与方法都更加清晰。又过了5年，牛顿写出了他最成熟的微积分论文《曲线求积论》，进一步完善了对流数的理解并清晰叙述了微积分基本定理，还给出了他自己发明的一系列记号。

至此，一代巨人完成了创立微积分的伟大壮举。然而由于自己保守内敛的性格，牛顿长期没有公开发表自己的论文，仅为他少数好友所知。直到1687年，在好友哈雷的鼓励与要求之下，牛顿才出版了巨著《自然哲学的数学原理》，直到这时，牛顿关于微积分的工作才公诸于世。正是牛顿的迟疑，引发了牛顿和莱布尼茨谁才是“微积分之父”的百年之争，更是造成了英国科学界和欧洲大陆科学界的长期分隔。

莱布尼茨(1646-1716)出生于德国莱比锡，他的研究领域遍及数学、物理、哲学、历史、生物学、机械、神学等，是人类历史上罕见的天才和全才。同时，莱布尼茨也是中国文化的狂热信徒。在莱布尼茨的时代，德国相对于英国，无论是科学教育还是科学发展水平，都很落后。

1672年，莱布尼茨来到了巴黎，在惠更斯的鼓励下开始研究起了数学。一年之后，莱布尼茨访问了伦敦，得到了一本巴罗的《几何讲义》，并从一些数学家那里听闻了牛顿的一些工作。回到巴黎之后，若有所思的莱布尼茨大量研究了帕斯卡、笛卡尔、卡瓦列里等人的著作。早于牛顿三年，他公开发表了历史上第一篇微积分论文，仿佛为了印证论文的划时代意义，莱布尼茨取了一个非常长的名字:《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。在这篇论文中，莱布尼茨给出了接近于现代的微分符号和法则。在1677年的一篇手稿中，莱布尼茨也粗略地给出了微积分基本定理的表述。9年之后，莱布尼茨又发表了《深奥的几何与不可分量及无限的分析》一文，再次论述了积分和微分的关系。

同时，莱布尼茨非常热衷于寻求简单的记号符号以便于简化计算，如今的微积分符号大部分出自莱布尼茨之手。

牛顿对微积分的研究更早，但莱布尼茨发表成果更早，但一场争论已经不可避免。孤悬海外的英国为此在相当长一段时间几乎断绝了和欧洲大陆的来往，造成了英国数学乃至科学落后的局面。

然而无论是牛顿还是莱布尼茨，对“无穷小”这一概念的描述和使用都是含糊不清的，时而看做不确定量，时而又当成定性的“0”，所以在很长的一段时间内，微积分理论都饱受批评和质疑。

分析的严格化

微积分的横空出世，迅速催生了一系列崭新的数学分支，如微分方程，微分几何，函数论，变分分析等。数学界属于分析的时代悄然来临，然而微积分理论的严格化仍是摆在无数数学家面前的一大难题。

第一个在这方面做出大胆尝试的数学家是波尔查诺(1781-1848)，他给出了连续函数定义的现代表述，同时他也指出:dy/dx只是一个记号，并不应理解为比值。

而贡献最大的当属柯西(1789-1857)无疑。1821年，柯西连续出版了《分析教程》、《无穷小计算讲义》、《无穷小计算在几何中的应用》这三本重要著作，给出了微积分的一系列严格定义。首先，他把无穷小量看做极限为0的变量，从而一举解决了长期以来无穷小量“似0又非0”的模糊状况。在此基础上，他给出了连续、微分、积分、导数等一系列概念的严格定义。然而他对极限定义的描述仍使用大量文字性的东西，这是不符合数学家的追求的。

如今我们熟知的关于极限的“ε-δ”语言是由半个世纪之后的德国数学家魏尔斯特拉斯(1815-1897)提出的。19世纪后，实数理论和集合论得到了空前发展，魏尔斯特拉斯、戴德金(1831-1916，高斯学生)和康托(1845-1918，魏尔斯特拉斯学生)等人看到了终结对微积分理论质疑的机会。经过几十年的努力，分析学严格化的历史任务终于画上了圆满的句号，终结了长达三百年的“各方混战”，使得分析学成为了像欧式几何一样是拥有坚实牢固基础的严密科学。分析的时代也达到了空前的高潮，各分支的发展也愈加繁荣。

本文转自公众号 数学maths

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