高中数学手电筒模型（子弹打木块模型）

模型概述

子弹打木块模型

：包括一物块在木板上滑动等。

，Q为摩擦在系统中产生的热量；小球在置于光滑水平面上的竖直平面内弧形光滑轨道上滑动；一静一动的同种电荷追碰运动等。

模型讲解

例. 如图1所示，一个长为L、质量为M的长方形木块，静止在光滑水平面上，一个质量为m的物块（可视为质点），以水平初速度

从木块的左端滑向右端，设物块与木块间的动摩擦因数为

，当物块与木块达到相对静止时，物块仍在长木块上，求系统机械能转化成内能的量Q。

图1

解析：可先根据动量守恒定律求出m和M的共同速度，再根据动能定理或能量守恒求出转化为内能的量Q。

对物块，滑动摩擦力

做负功，由动能定理得：

即

对物块做负功，使物块动能减少。

对木块，滑动摩擦力

对木块做正功，由动能定理得

，即

对木块做正功，使木块动能增加，系统减少的机械能为：

本题中

，物块与木块相对静止时，

，则上式可简化为：

又以物块、木块为系统，系统在水平方向不受外力，动量守恒，则：

联立式<2>、<3>得：

故系统机械能转化为内能的量为：

点评：系统内一对滑动摩擦力做功之和（净功）为负值，在数值上等于滑动摩擦力与相对位移的乘积，其绝对值等于系统机械能的减少量，即

。

从牛顿运动定律和运动学公式出发，也可以得出同样的结论。由于子弹和木块都在恒力作用下做匀变速运动，位移与平均速度成正比：

所以

一般情况下

，所以

，这说明，在子弹射入木块过程中，木块的位移很小，可以忽略不计。这就为分阶段处理问题提供了依据。象这种运动物体与静止物体相互作用，动量守恒，最后共同运动的类型，全过程动能的损失量可用公式：

模型要点

子弹打木块的两种常见类型：

①木块放在光滑的水平面上，子弹以初速度v0射击木块。

运动性质：子弹对地在滑动摩擦力作用下做匀减速直线运动；木块在滑动摩擦力作用下做匀加速运动。

图象描述：从子弹击中木块时刻开始，在同一个v�t坐标中，两者的速度图线如下图中甲（子弹穿出木块）或乙（子弹停留在木块中）

图2

图中，图线的纵坐标给出各时刻两者的速度，图线的斜率反映了两者的加速度。两图线间阴影部分面积则对应了两者间的相对位移。

方法：把子弹和木块看成一个系统，利用A：系统水平方向动量守恒；B：系统的能量守恒（机械能不守恒）；C：对木块和子弹分别利用动能定理。

推论：系统损失的机械能等于阻力乘以相对位移，即ΔE＝Ffd

②物块固定在水平面，子弹以初速度v0射击木块，对子弹利用动能定理，可得：

两种类型的共同点：

A、系统内相互作用的两物体间的一对摩擦力做功的总和恒为负值。（因为有一部分机械能转化为内能）。

B、摩擦生热的条件：必须存在滑动摩擦力和相对滑行的路程。大小为Q＝Ff·s，其中Ff是滑动摩擦力的大小，s是两个物体的相对位移（在一段时间内“子弹”射入“木块”的深度，就是这段时间内两者相对位移的大小，所以说是一个相对运动问题）。

C、静摩擦力可对物体做功，但不能产生内能（因为两物体的相对位移为零）。

误区点拨

静摩擦力即使对物体做功，由于相对位移为零而没有内能产生，系统内相互作用的两物体间的一对静摩擦力做功的总和恒等于零。

不明确动量守恒的条件性与阶段性，如图3所示，不明确动量守恒的瞬间性如速度问题。

图3

模型演练

如图4所示，电容器固定在一个绝缘座上，绝缘座放在光滑水平面上，平行板电容器板间的距离为d，右极板上有一小孔，通过孔有一左端固定在电容器左极板上的水平绝缘光滑细杆，电容器极板以及底座、绝缘杆总质量为M，给电容器充电后，有一质量为m的带正电小环恰套在杆上以某一初速度v0对准小孔向左运动，并从小孔进入电容器，设带电环不影响电容器板间电场分布。带电环进入电容器后距左板的最小距离为0.5d，试求：

图4

（1）带电环与左极板相距最近时的速度v；

（2）此过程中电容器移动的距离s。

（3）此过程中能量如何变化？

答案：（1）带电环进入电容器后在电场力的作用下做初速度为v0的匀减速直线运动，而电容器则在电场力的作用下做匀加速直线运动，当它们的速度相等时，带电环与电容器的左极板相距最近，由系统动量守恒定律可得：

动量观点：

力与运动观点：

设电场力为F

（2）能量观点（在第（1）问基础上）：

对m：

对M：

所以

运动学观点：

对M：

，对m：

，解得：

带电环与电容器的速度图像如图5所示。由三角形面积可得：

图5

解得：

（3）在此过程，系统中，带电小环动能减少，电势能增加，同时电容器等的动能增加，系统中减少的动能全部转化为电势能。

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