数列的通项公式与求和的方法（数列的概念及通项公式的常用求法）

一、有关数列的概念：

1、数列是按照一定顺序排列的一列数，数列中的每一个数叫做这个数列的项。

数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第 1 项 （通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第 2 项 ， ...... ，排在第 n 位的数称为这个数列的第 n 项 。

2、数列的一般形式可以写成如下形式：

数列一般形式图（1）

3、项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列。

4、如果数列 {an} 的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式 。

5、从数列中的第二项起，每一项都大于前一项的数列叫做递增数列；

从数列中的第二项起，每一项都小于前一项的数列叫做递减数列；

各项相等的数列叫常数列；

从第二项起，有些项大于它前一项，有些项小于它前一项的数列叫做摆动数列 。

6、数列的图像都是一群孤立的点 。

7、数列有三种表示形式：列举法、通项公式法、图像法 。

8、递推公式：如果已知数列 {an} 的第 1 项 （或前几项），且任一项 an 与它的前一项 an-1 （或前 n 项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。递推公式也是给出数列的一种方法 。

二、数列通项公式的常用求法

1、根据数列的某几项写出数列的通项公式，常用到 “观察法”，具备较强的观察和逻辑推理能力是解决这类题目的关键。

例1：根据数列的前 4 项，写出它的一个通项公式：

（1）9，99，999，9999，…

例题1图（1）

例题1图（2）

注：观察数列中各项的特点，关键是找出各项与项数 n 的关系 。

2、数列基本概念的辨析。

解决此类题目的关键是要深刻理解数列与函数的关系、数列与集合的联系与区别、数列的基本概念和性质等。

① 公式法

例2： 已知数列 {an} 是公差为 d 的等差数列，数列 {bn} 是公比为 q 的 (q∈R且q≠1) 的等比数列，若函数 f (x) = (x－1)^2，

且 a1 = f (d－1)，a3 = f (d 1)，b1 = f (q 1)，b3 = f (q－1) ；

(1) 求数列 { a n } 和 { b n } 的通项公式；

例题2图

注：当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比 。

② 叠加法

例3：已知数列 6，9，14，21，30，… 求此数列的一个通项 。

例题3图

注：一般地，对于形如 an 1 = an f ( n ) 类的通项公式，只要 f ( 1 ) f ( 2 ) ... f ( n ) 能进行求和，则宜采用此方法求解。

③ 叠乘法

例4：在数列｛an｝中，a1 = 1, (n 1) · an 1 = n · an，求数列 an 的表达式 。

例题4图

注：一般地，对于形如 an 1 = f ( n ) · an 类的通项公式，当 f ( 1 ) · f ( 2 ) · ... · f ( n ) 的值可以求得时，宜采用此方法 。

④ Sn法

Sn法图

例5：已知下列两数列 {an} 的前 n 项和 sn 的公式，求数列 {an} 的通项公式 。

例题5图（1）

例题5图（2）

例题5图（3）

注：要先分 n = 1和 n ≥ 2 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一 。

⑤ 待定系数法

例6：设数列 {cn} 的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求此数列的通项公式 cn 。

例题6图（1）

注：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式，一般地，若数列 {an} 为等差数列：

例题6图（2）

3、求数列通项的其它方法 。

① 辅助数列法

例7：已知数列 {an} 的递推关系为 an 1 = 2an 1 , 且 a1 = 1 , 求数列 {an} 的通项 an 。

例题7图

注：这种方法类似于换元法, 主要用于已知递推关系式求通项公式 。

② 归纳、猜想

例8：在

例题8图

注：对难以用上各法求通项的数列，常先由递推公式算出前几项，找到规律，归纳、猜想出通项公式 。

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