李永乐有理数和无理数（证明π是无理数）

在开始证明前，我们先看两个简单的，以寻找思路。

从上面两个例子我们可以看到，证明一个数是无理数，我们其实没有什么好的手段，就是反证法。

因为有理数是有清晰定义的，能表示成两个整数之商，就是有理数。而无理数则没有清晰定义：在实数内，不是有理数就称为无理数。

好了，现在我们开始来尝试证明π是无理数

（我每次说“显然”时，心中无比忐忑不安，不知道您是否显然看出来）

我们继续构造函数

即0<F(1) F(0)<1

这与F(0),F(1)均为整数矛盾！

所以假设^2是有理数错误，π^2是无理数

所以π也是无理数

（不记得中值定理可以点这里学习一下：零点定理）

（不记得高阶求导可以点这里学习一下：二项式定理与高阶求导）

以上证明是数学家Ivan Niven于1947年提出的，号称是目前为止最短的证明！我们的妈呀，这是最短证明！我可是花了两天时间一步一步抄，边抄边理解才看懂哦。

我怀疑，证明π是无理数，应该有更简洁的证明，就像lg3那样简洁的证明，不过是还没找到而已。期待陶哲轩那样的聪明大脑能试一下，说不定不需要一张纸就整完了呢。